Контрольная работа за 1 полугодие 11 класс.

Итоговая контрольная работа по ВиС 11 класс, первое полугодие, вариант 1

ФИО, дата

Задание 1. Решите задачу. Запишите развёрнутый ответ.

Страховая компания предлагает клиенту застраховать ноутбук от поломки на год. Стоимость страховки составляет 4 500 рублей. Из статистики известно, что вероятность поломки такого ноутбука в течение года равна 8 %, а средняя стоимость ремонта — 25 000 рублей.

а) Составьте закон распределения случайной величины X — прибыль страховой компании с одного договора.
б) Найдите математическое ожидание прибыли компании. Выгодна ли такая сделка для компании в долгосрочной перспективе?

Задание 2. Вычислите.

Случайные величины X и Y независимы. Известно, что M(X)=4, M(Y)=−2.

Найдите:
а) M(3X+Y);
б) M(X−2Y+5);
в) M(4X−Y−3).

Задание 3. Установи соответствие между определением и термином.

Задание 3.1 Даны наборы: 2; 3; 4; 7 и 1; 5; 6; 8

Вычислить отклонение; абсолютное отклонение; квадрат отклонения; дисперсию, среднеквадратичное отклонение (или стандартное отклонение). ЗАПОЛНИТЕ ТАБЛИЦУ. Укажите в ответе дисперсия какого набора больше.

Задание 4. Выберите и обведите правильный вариант ответа.

1. Что показывает математическое ожидание дискретной случайной величины?
   а) Значение, которое встречается чаще других.
   б) Середину диапазона возможных значений.
   в) Среднее значение при большом числе испытаний.
   г) Наибольшее из возможных значений.

2. Какое свойство верно для дисперсии случайной величины?
   а) Дисперсия всегда отрицательна.
   б) Дисперсия показывает, насколько значения отклоняются от среднего.
   в) Дисперсия равна математическому ожиданию.
   г) Дисперсия не зависит от разброса значений.

3. Если все значения случайной величины увеличить в 3 раза, то её математическое ожидание:
   а) не изменится;
   б) увеличится в 3 раза;
   в) увеличится в 9 раз;
   г) уменьшится в 3 раза.

4. Дисперсия постоянной величины равна:
   а) самой этой величине;
   б) нулю;
   в) единице;
   г) удвоенной величине.

Задание 5. Заполните таблицу и дайте ответы на вопросы.

Муниципальная служба провела опрос 800 случайно выбранных жителей района о предпочитаемом способе передвижения по городу. Результаты:

Вопросы:

а) Заполните столбец «Доля» (округлите до тысячных).
б) Оцените, сколько жителей района (численность 40 000 человек) предпочитают общественный транспорт.
в) Объясните, почему для оценки в пункте б можно опираться на Закон Больших Чисел.

Итоговая контрольная работа по ВиС 11 класс, первое полугодие, вариант 2

ФИО, дата

Задание 1. Решите задачу. Запишите развёрнутый ответ.

Страховая компания предлагает клиентам застраховать планшет от повреждений на год. Стоимость страхового полиса — 2 000 рублей. По данным статистики, вероятность повреждения планшета в течение года составляет 12 %, а средняя стоимость ремонта оценивается в 18 000 рублей.

а) Составьте закон распределения случайной величины X — прибыль страховой компании с одного договора.
б) Вычислите математическое ожидание прибыли. Стоит ли компании предлагать такой страховой продукт в долгосрочной перспективе? Обоснуйте ответ на основе расчётов.

Задание 2. Вычислите.

Случайные величины X и Y независимы. Известно, что M(X)=−1, M(Y)=7.

Найдите:
а) M(X+5Y);
б) M(2X+Y−4);
в) M(−3X+Y+2).

Задание 3. Установи соответствие между определением и термином.

Задание 3.1 Даны наборы: 3; 5; 7; 9 и 12; 14; 16; 18

Вычислить отклонение; абсолютное отклонение; квадрат отклонения; дисперсию, среднеквадратичное отклонение (или стандартное отклонение). ЗАПОЛНИТЕ ТАБЛИЦУ. Укажите в ответе дисперсия какого набора больше.

Задание 4. Выберите и обведите правильный вариант ответа.

1. Математическое ожидание непрерывной случайной величины — это:
   а) наиболее часто встречающееся значение;
   б) среднее значение в долгосрочной перспективе;
   в) разность максимального и минимального значений;
   г) значение в середине интервала возможных исходов.

2. Что отражает дисперсия случайной величины?
   а) центр распределения;
   б) форму кривой плотности вероятности;
   в) степень разброса значений относительно среднего;
   г) вероятность крайних значений.

3. Если к каждому значению случайной величины прибавить 5, то её дисперсия:
   а) увеличится на 5;
   б) увеличится в 5 раз;
   в) не изменится;
   г) уменьшится на 5.

4. Какое из утверждений верно для математического ожидания?
   а) Математическое ожидание может быть только положительным.
   б) Математическое ожидание всегда совпадает с медианой.
   в) Математическое ожидание линейно: M(aX+b)=aM(X)+b.
   г) Математическое ожидание не определено для непрерывных величин.

Задание 5. Заполните таблицу и дайте ответы на вопросы.

Экологическая организация опросила 1 500 жителей города о частоте использования многоразовых сумок при покупках. Результаты:

Вопросы:

а) Заполните столбец «Доля» (округлите до тысячных).
б) Оцените, сколько жителей города (численность 300 000 человек) всегда используют многоразовые сумки.
в) Перечислите ключевые условия, при которых применение Закона Больших Чисел даёт надёжные результаты в данном исследовании.

Ответы: Вариант 1

Задание1. Вариант 1 (ноутбук, 4 500 руб.)

а) Закон распределения случайной величины X (прибыль компании):

б) Математическое ожидание прибыли:

M(X)=(−20500)⋅0,08+4500⋅0,92=−1640+4140=2500 руб.

Вывод: сделка выгодна для компании — в среднем она получает 2 500 руб. прибыли с одного договора.

Вариант 1: M(X)=2500 руб. (выгодно).

Задание 2 (вычисление математических ожиданий)

В обоих вариантах использованы ключевые свойства математического ожидания:

• M(X+Y)=M(X)+M(Y) (для суммы);

• M(c⋅X)=c⋅M(X) (вынесение константы);

• M(c)=c (математическое ожидание константы равно самой константе).

Варианты различаются:

• числовыми значениями M(X) и M(Y) (в т. ч. отрицательными);

• коэффициентами при случайных величинах;

• знаками операций и свободными членами в выражениях.

Это позволяет проверить понимание свойств математического ожидания в разных контекстах и избежать механического копирования решения.

Вариант 1 (M(X)=4, M(Y)=−2)

а) M(3X+Y)

M(3X+Y)=3⋅M(X)+M(Y)=3⋅4+(−2)=12−2=10

Ответ: 10.

б) M(X−2Y+5)

M(X−2Y+5)=M(X)−2⋅M(Y)+5=4−2⋅(−2)+5=4+4+5=13

Ответ: 13.

в) M(4X−Y−3)

M(4X−Y−3)=4⋅M(X)−M(Y)−3=4⋅4−(−2)−3=16+2−3=15

Ответ: 15.

Вариант 1: а) 10; б) 13; в) 15.

Задание 3

Задание 3.1

Вывод: Дисперсия второго набора больше.

Задание 4. Ответы к варианту 1

1. в) Среднее значение при большом числе испытаний.
   Пояснение: математическое ожидание — это средневзвешенное всех возможных значений случайной величины, отражающее «центр» распределения при многократных испытаниях.

2. б) Дисперсия показывает, насколько значения отклоняются от среднего.
   Пояснение: дисперсия измеряет разброс случайной величины относительно её математического ожидания.

3. б) увеличится в 3 раза.
   Пояснение: по свойству линейности математического ожидания: M(kX)=k⋅M(X).

4. б) нулю.
   Пояснение: постоянная величина не имеет разброса, поэтому её дисперсия равна 0: D(c)=0.

Вариант 1:
1 → в
2 → б
3 → б
4 → б

Задание 5. Вариант 1

а) Заполненная таблица:

Расчёт: доля = количество / 800. Например, для велосипеда: 240/800=0,300.

б) Оценка для района (40 000 жителей):
Доля предпочитающих общественный транспорт — 0,400.
Ожидаемое число: 40000⋅0,400=16000 человек.

Ответ: примерно 16 000 жителей предпочитают общественный транспорт.

в) Обоснование применения Закона Больших Чисел:

• Выборка (800 человек) достаточно велика и сформирована случайно, что снижает влияние случайных отклонений.

• Она репрезентативна: отражает разнообразие жителей района по возрасту, профессии и месту проживания.

• При таких условиях выборочная доля (0,400) с высокой вероятностью близка к истинной доле среди всех 40 000 жителей.

• Закон Больших Чисел гарантирует, что при увеличении объёма выборки частота события (выбор общественного транспорта) стабилизируется около истинного значения.

Задание1. Вариант 2 (планшет, 2 000 руб.)

а) Закон распределения случайной величины X (прибыль компании):

б) Математическое ожидание прибыли:

M(X)=(−16000)⋅0,12+2000⋅0,88=−1920+1760=−160 руб.

Вывод: сделка невыгодна для компании — в среднем она теряет 160 руб. с одного договора.

Вариант 2: M(X)=−160 руб. (невыгодно).

Задание 2 (M(X)=−1, M(Y)=7)

В обоих вариантах использованы ключевые свойства математического ожидания:

• M(X+Y)=M(X)+M(Y) (для суммы);

• M(c⋅X)=c⋅M(X) (вынесение константы);

• M(c)=c (математическое ожидание константы равно самой константе).

Варианты различаются:

• числовыми значениями M(X) и M(Y) (в т. ч. отрицательными);

• коэффициентами при случайных величинах;

• знаками операций и свободными членами в выражениях.

Это позволяет проверить понимание свойств математического ожидания в разных контекстах и избежать механического копирования решения.

а) M(X+5Y)

M(X+5Y)=M(X)+5⋅M(Y)=−1+5⋅7=−1+35=34

Ответ: 34.

б) M(2X+Y−4)

M(2X+Y−4)=2⋅M(X)+M(Y)−4=2⋅(−1)+7−4=−2+7−4=1

Ответ: 1.

в) M(−3X+Y+2)

M(−3X+Y+2)=−3⋅M(X)+M(Y)+2=−3⋅(−1)+7+2=3+7+2=12

Ответ: 12.

Вариант 2: а) 34; б) 1; в) 12.

Задание 3

Задание 3.1

Даны наборы: 3; 5; 7; 9 и 12; 14; 16; 18

Вычислить отклонение; абсолютное отклонение; квадрат отклонения; дисперсию, средне квадратичное отклонение (или стандартное отклонение). ЗАПОЛНИТЕ ТАБЛИЦУ. Укажите в ответе дисперсия какого набора больше?

Вывод: Дисперсии первого и второго набора равны

Задание 4. Ответы к варианту 2

1. б) среднее значение в долгосрочной перспективе.
   Пояснение: для непрерывной случайной величины математическое ожидание также интерпретируется как среднее значение при многократном повторении экспериментов.

2. в) степень разброса значений относительно среднего.
   Пояснение: дисперсия количественно характеризует, насколько сильно значения случайной величины отклоняются от математического ожидания.

3. в) не изменится.
   Пояснение: добавление константы к случайной величине сдвигает все значения на одну и ту же величину, но не влияет на их разброс: D(X+c)=D(X).

4. в) Математическое ожидание линейно: M(aX+b)=aM(X)+b.
   Пояснение: это фундаментальное свойство математического ожидания, позволяющее вычислять ожидаемые значения линейных преобразований случайных величин.

Вариант 2:
1 → б
2 → в
3 → в
4 → в

Задание 5. Вариант 2

а) Заполненная таблица:

Расчёт: доля = количество / 1 500. Например, для «Всегда»: 600/1500=0,400.

б) Оценка для города (300 000 жителей):
Доля тех, кто всегда использует многоразовые сумки — 0,400.
Ожидаемое число: 300000⋅0,400=120000 человек.

Ответ: примерно 120 000 жителей всегда используют многоразовые сумки.

в) Условия надёжности Закона Больших Чисел:

1. Случайный отбор респондентов (исключает систематические смещения).

2. Достаточный объём выборки (1 500 человек снижает статистическую погрешность).

3. Репрезентативность (выборка отражает социально‑демографический состав города).

4. Независимость ответов (мнение одного участника не влияет на других).

5. Однородность генеральной совокупности (жители города имеют сопоставимые условия для использования сумок).

При соблюдении этих условий выборочная доля является надёжной оценкой истинной доли в популяции.