Урок алгебры в 9 кл

Арок алгебры: Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии.

Цели урока:

• Образовательная: ввести понятие геометрической прогрессии, вывести формулу n-ого члена геометрической прогрессии; закрепить умения и навыки применять изучаемые формулы;

• Развивающая: развитие логического мышления, познавательного интереса учащихся.

• Воспитательная: воспитание самостоятельности, настойчивости , навыков коллективной работы.

Тип урока: объяснение нового материала.

План урока

1. Сообщение темы и цели урока.(2мин)

2. Повторение пройденного материала. (5мин)

3. Объяснение нового материала.(15мин)

4. Закрепление изученного материала. (20мин)

5. Рефлексия (2мин)

6. Домашнее задание. (1мин)

Оборудование: компьютер, интерактивная доска, презентация «Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии», учебник Алгебра для 9 класса, Ю.Н.Макарычев.

ХОД УРОКА

1. Сообщение темы и цели урока(2мин)

Тема сегодняшнего урока «Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии» (слайд 1). На уроке мы должны познакомиться с геометрической прогрессией, знаменателем геометрической прогрессии, с формулой n-ого члена геометрической прогрессии, и рассмотреть примеры, решать задачи.

2. Повторение пройденного материала (5мин)

Индивидуальная работа

• 1ученик: последовательность an- арифметическая прогрессия. Найдите:

• a₁₁, если а₁=20 и d=-3

• 2 ученик: найти сумму первых тридцати членов арифметической прогрессии, если а₁=6, d=-2

• Дайте определение арифметической прогрессии.

• Как найти разность арифметической прогрессии?

• Назовите формулу сумму первых n членов арифметической прогрессии.

3. Объяснение нового материала (15мин)(слайд3)

Рассмотрим последовательности:

а) 2; 4; 8; 16; 32; 64; …
б) 2; 6; 18; 54; 162…
в) – 10; 100; – 1000;  10000; – 100000…

– Итак, что вы замечаете?

а) а₁ = 2
а₂ = 4
а₃ = 8
а₄ = 16
…

– Как взаимосвязаны между собой члены этой последовательности?
– Каждый последующий член последовательности равен предыдущему члену, умноженному на 2. (Слайд 4)

б)

а₁ = 2
а₂ = 6
а₃ = 18
а₄ = 54
…

– Как взаимосвязаны между собой члены этой последовательности?
– Каждый последующий член последовательности равен предыдущему члену, умноженному на 3. (Слайд 5)

в)

а₁ = – 10
а₂ = 100
а₃ = – 1000
а₄ = 10000

– Как взаимосвязаны между собой члены этой последовательности?
– Каждый последующий член последовательности равен предыдущему члену, умноженному на – 10. (Слайд 6)

– Рассмотренные последовательности называются геометрическими прогрессиями.
А теперь постараемся самостоятельно сформулировать определение геометрической прогрессии.
Определение. Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. 
Иначе, последовательность (в_n) – геометрическая прогрессия, если для любого натурального n выполняется условие

В_n = 0 и в_{n + 1} = b_n * q,
где q = . (Слайд 7)

Число q называют знаменателем геометрической прогрессии.
Зная первый член и знаменатель геометрической прогрессии,  можно найти последовательно  второй, третий и вообще любой её член:

…
. (Слайд8)

Мы получили формулу n-ого члена геометрической прогрессии.

4. Закрепление изученного материала (15мин)

Итак, рассмотрим примеры решения некоторых задач с использованием этой формулы.

Пример 1.

В геометрической прогрессии b₁=12,8 и q=1/4. Найти в₇?

По формуле n-го члена геометрической прогрессии

b₇=a₁*q⁶

b₇=12,8*(1/4)⁶⁼ 128/10*1/4⁶=2⁷/10*2¹²=1/2⁵*10=1/320

Пример 2.

Найти пятый член геометрической прогрессии:  2; – 6…

Зная первый и второй члены геометрической прогрессии,    можно найти её знаменатель.

q = – 6 : 2 = – 3.

Таким образом  в₅ = 2 * (–3) 4 = 162. (Слайд 10)

Пример 3. (слайд 11)

Вкладчик положил в банк 5000р на счет, по которому сумма вклада ежегодно возрастает на 8%. Какая сумма будет у него на счету через 6 лет?

Начальная сумма вклада составляла 5000р. Через год эта сумма возрастет на 8% и составит 108% от 5000р., т.е. будет равна 5000*1,08р. Через два года накопленная сумма составит (5000*1,08)*1,08р., т.е. 5000*1,08²р. Через 3 года на счету у вкладчика будет (5000*1,08²)*1,08=5000*1,08³р. и т.д.

Таким образом, мы имеем дело с геометрической прогрессией

5000,5000*1,08, 5000*1,08², 5000*1,08³, …

Сумма, накопленная на счету у вкладчика, через 6 лет будет равна седьмому члену этой прогрессии, т.е. составит 5000*1,08⁶

Выполнив вычисления, найдем, что 5000*1,08⁶ =7934. Значит, на счету у вкладчика через 6 лет окажется сумма, приближенно равная 7934

А теперь посмотрим отличие между арифметическим и геометрическим прогрессиями

Составим две числовые последовательности с а₁ = 5. d = 3 q = 3. В арифметической прогрессии каждый член равно предыдущему члену, сложенному на разность прогрессии. Т.е.

5+3=8

8+3=11

11+3=14

14+3=17

…

В геометрич прогрессии каждый член равно предыдущему члену, умноженному на знаменатель прогрессии

5*3=15

15*3=45

45*3=135

… (слайд12,13)

Работа с учебником.(слайд13)

1группа: 397(а), 401стр97

2 группа: 394(а), 395(б) стр 97

3 группа: № 387 (623) (а, б) стр 96,

а)b1=6, q=2

b2= b1*q = 6*2=12

b3=b1*q2=6*2²=6*4=24

b4=b1*q³=6*2³=48

b5=6*2⁴=6*16=96

№ 391 (627)(а, б) стр 96,

401.

Срочный вклад, положенный в банк, ежегодно увеличивается на 90%. Каким станет вклад через 3 года, если вначале он был равен 800р.

Задача из ОГЭ

Дана геометрическая прогрессия b_n, знаменатель которой равен -3, b₁= - 6. Найдите b₅

(Ответ: -486)

5. Рефлексия

1. Сформулируйте определение геометрической прогрессии.

2. Сформулируйте определение знаменателя геометрической прогрессии.

3. Назовите формулы n-го члена геометрической прогрессий.

6.Домашнее задание

№ 397(б) стр 97, 395(а) стр 97, каждый из своей книги ОГЭ выполнить задание 6