Урок 23. Три признака подобия треугольника. Признак 2.

Три признака подобия треугольников.

Второй признак подобия треугольников

(по двум сторонам и углу между ними).

Второй признак подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Записывают так: если AB:A 1 B 1 =AC:A 1 C 1 ​ и ∠A=∠A 1 ​, то △ABC∼△A 1 B 1 C 1 ​.

Доказательство второго признака подобия треугольников

Рассмотрим два треугольника: △ABC и △A 1 B 1 C 1 , у которых:

AB:A 1 B 1 =AC:A 1 C 1 ​=k (стороны пропорциональны)

∠ A=∠A 1 ​ (углы между пропорциональными сторонами равны).

Доказательство второго признака подобия треугольников

• Построим вспомогательный треугольник A 2 B 2 C 2 , который подобен треугольнику A 1 B 1 C 1 с коэффициентом подобия k.

Тогда A 2 B 2 =k⋅A 1 B 1 , A 2 C 2 =k⋅A 1 C 1 , ∠A 2 =∠A 1 ​.

Сравним треугольники АВС и A 2 B 2 C 2 .

Из условия имеем: АВ=k⋅A 1 B 1 =A 2 B 2 , АС=k⋅A 1 C 1 =A 2 C 2 , ∠A=∠A 1 ​=∠A 2 ​.

Следовательно, треугольники АВС и A 2 B 2 C 2 равны по двум сторонам и углу между ними.

Поскольку треугольник A 2 B 2 C 2 подобен треугольнику A 1 B 1 C 1 (по построению), а треугольник АВС равен треугольнику A 2 B 2 C 2 , то треугольник АВС подобен треугольнику A 1 B 1 C 1 . Что и требовалось доказать.

Примеры применения. Пример 1. Простая проверка по данным

Пусть в △ABC: AB=6 см, AC=9 см, ∠A=45 o . В △A 1 ​B 1 ​C 1 ​: A 1 B 1 =4 см, A 1 C 1 =6 см, ∠A 1 =45 o .

Проверим пропорциональность сторон:

AB:A 1 ​B 1 ​=6:4=1,5, AC:A 1 ​C 1 ​=9:6=1,5.

Отношения равны, угол между сторонами тоже равен (45 o ). Значит, треугольники подобны по второму признаку. Коэффициент подобия k=1,5.

Пример 2. Подобие в задачах с поворотом/масштабом

Часто такой признак используют, когда один треугольник — это «увеличенная копия» другого, повёрнутая или иначе расположенная. Главное — найти пару равных углов и проверить, что стороны, образующие этот угол, пропорциональны. Это удобно, когда углы легко определить (например, они даны или равны как вертикальные/общие), а про третьи стороны ничего не известно.

Задачи с решениями. Задача 1 (прямая проверка условия)

В △PQR: PQ=10 см, PR=15 см, ∠P=30 o . В △XYZ: XY=6 см, XZ=9 см, ∠X=30 o .

Вопрос: подобны ли треугольники по второму признаку? Если да, укажи коэффициент подобия.

Решение:

• Сравним отношения сторон, выходящих из равных углов: XY:PQ=6:10=0,6; XZ:PR=9:15=3:5=0,6.
• Отношения сторон равны, и углы между этими сторонами равны: ∠P=∠X=30 o .
• Значит, △PQR∼△XYZ по второму признаку подобия. Коэффициент подобия k=0,6.

Ответ: треугольники подобны, k=0,6​.

Задача 2 (нахождение неизвестной стороны через подобие)

Даны △ABC и △DEF. Известно: ∠A=∠D=50 o , AB=8 см, AC=12 см.

В △DEF: DE=6 см, а сторона DF неизвестна.

Известно, что треугольники подобны по второму признаку (стороны пропорциональны, угол между ними равен).

Найди длину стороны DF.

Задача 2. Решение:

• По условию, ∠A=∠D, и треугольники подобны по двум сторонам и углу между ними. Значит, пары сторон, образующих этот угол, должны быть пропорциональны: AB:DE=AC:DF​.
• Подставим известные значения: 8:6=12:DF​.
• Решим пропорцию: DF=12⋅6:8=12⋅0,75=9 см.

Ответ: DF=9 см.

Задача 3 (подобие в конструкции с общим углом)

У треугольников △ABC и △ADE общий угол ∠A.

Точки D и E лежат на сторонах AB и AC соответственно.

Дано: AD=4 см, AB=10 см, AE=6 см, AC=15 см.

• Докажи, что △ABC∼△ADE по второму признаку.
• Найди коэффициент подобия и отношение периметров этих треугольников.

Задача 3. Решение:

• У треугольников общий угол: ∠A — он равен сам себе.
• Проверим пропорциональность сторон, выходящих из этого угла: AB:AD=10:4=2,5,AC:AE=15:6=2,5. Отношения равны.
• Следовательно, △ABC∼△ADE по второму признаку подобия (две стороны пропорциональны, угол между ними равен). Коэффициент подобия k=2,5 (от большего к меньшему).

• Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия: P ABC : P ADE =k=2,5.

Ответ: треугольники подобны по второму признаку, k=2,5, отношение периметров тоже 2,5.

На что обратить внимание (частые ошибки)

• Равенство именно угла между данными сторонами. Если дан угол, но он не между теми сторонами, которые сравниваются, второй признак применять нельзя.
• Пропорциональность именно пар сторон, прилегающих к равным углам. Нельзя брать произвольные стороны.
• Порядок записи подобия. Важно правильно указать соответствие вершин: равные углы должны стоять на одинаковых местах. Например, если ∠A=∠D, то в записи подобия △ABC∼△D... вершина A соответствует D.

Рефлексия

• Объясни своими словами, какие три условия обязательно должны выполняться, чтобы применить второй признак подобия. Почему недостаточно только пропорциональности двух сторон — зачем ещё нужен угол, и почему именно угол между этими сторонами?
• Представь, что в задаче даны два треугольника, у которых равны углы и пропорциональны две стороны, но этот угол не лежит между данными сторонами. Можно ли в такой ситуации сделать вывод о подобии по второму признаку?
• Вспомни одну из решённых задач на второй признак подобия и коротко (в 2–3 предложениях) опиши: какой угол был ключевым, какие стороны ты сравнивал и как из их пропорциональности и равенства угла следовал вывод о подобии. Если бы длины сторон изменились так, что пропорциональность нарушилась, остался бы вывод тем же? Почему?

Домашнее задание:

• В треугольнике △MNK известно: MN=12 см, MK=18 см, ∠M=60 о . В треугольнике △PQR: PQ=8 см, PR=12 см, ∠P=60 о . Подобны ли эти треугольники по второму признаку подобия? Если да, укажи коэффициент подобия.
• Даны треугольники △ABC и △DEF. Известно, что ∠A=∠D=40 о , AB=9 см, AC=15 см. В △DEF сторона DE=6 см, а сторона DF неизвестна. Треугольники подобны по второму признаку (две стороны пропорциональны, угол между ними равен). Найди длину стороны DF.
• У треугольников △ABC и △ADE общий угол ∠A. Точки D и E лежат на сторонах AB и AC соответственно. Дано: AD=5 см, AB=20 см, AE=7 см, AC=28 см. Докажи, что △ABC∼△ADE по второму признаку подобия. Найди коэффициент подобия и отношение периметров этих треугольников.