Цилиндр. Площадь поверхности.

Тема: Цилиндр

Цилиндр — это геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями (основаниями), пересекающими её. Проще говоря, это объёмная фигура, похожая на банку или стакан: два одинаковых круглых дна сверху и снизу соединены изогнутой стенкой. 

Основные элементы цилиндра

• Основания — два равных круга, лежащих в параллельных плоскостях. 

• Образующие — отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей оснований. Все образующие параллельны и равны между собой.  Высота (h) — расстояние между плоскостями оснований. В прямом цилиндре высота равна длине образующей. 

• Радиус (R) — радиус основания. 

• Ось цилиндра — прямая, проходящая через центры оснований. 

Виды цилиндров

• Прямой круговой цилиндр — наиболее распространённый вид в школьном курсе. У него основания — круги, ось перпендикулярна основаниям, а образующие перпендикулярны им. Такой цилиндр можно получить вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. 

• Наклонный цилиндр — у него основания параллельны, но образующие не перпендикулярны плоскостям оснований. 

• Косой (скошенный) цилиндр — у него основания не параллельны друг другу. 

• Эллиптический, параболический, гиперболический цилиндры — их основания являются эллипсами, параболами или гиперболами. 

• Равносторонний цилиндр — прямой круговой цилиндр, у которого диаметр основания равен высоте. 

Формулы

• Площадь боковой поверхности: Sбок=2πRH. Если развернуть боковую поверхность, получится прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра, а другая — длине окружности основания (2πR). 

• Площадь полной поверхности: Sполн=2πRH+2πR2=2πR(H+R)

Это сумма площади боковой поверхности и площадей двух оснований. 

• Объём: V=πR2H. Объём равен произведению площади основания на высоту. 

Сечения

• Осевое сечение — сечение плоскостью, проходящей через ось цилиндра. Оно имеет форму прямоугольника. 

• Сечение, параллельное оси цилиндра, — также прямоугольник, сторонами которого являются хорды оснований и две образующие. 

• Сечение, перпендикулярное оси цилиндра, — круг, равный основаниям. 

• Сечение, не параллельное основаниям и не пересекающее их, — эллипс. Если секущая плоскость пересекает одно из оснований, сечением будет парабола или гипербола. 

Примеры в жизни

Цилиндрическую форму имеют многие предметы: консервные банки, стаканы, трубы, свечи, рулоны бумаги, колонны зданий.

Пример расчёта

Допустим, у цилиндра радиус R=5 см, а высота h=12 см. Найдём площадь полной поверхности.

S_полн=2π⋅5⋅(12+5)=2π⋅5⋅17=170π см²

Если нужно числовое значение, подставим π≈3.14π≈3.14: 170⋅3.14≈533.8 см².