Треугольник Паскаля

Урок №7-1 на тему «Сочетания. Треугольник Паскаля»

1. Организационный момент.

2. Повторение (устно).

- Что такое перестановка? (Перестановкой из n предметов называется любой способ нумерации этих предметов (способов их разложения в ряд)).

- Что такое факториал натурального числа? (Факториалом натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Обозначается факториал ).

- Чему равно число различных перестановок из n предметов? (Число перестановок n предметов равно )

- Чему равен факториал нуля? (0!=1)

3. Актуализация знаний.

На прошлых уроках нам встречались задачи, в которых речь шла о выборе нескольких предметов из имеющихся. Если речь шла об упорядоченном выборе (выставить несколько книг на полку в определённом порядке), то достаточно было просто применить закон умножения. Когда же порядок не имеет значения, комбинаций меньше. Начните с простого примера.

Пример 1. Из трех игроков, заявленных на теннисный матч, надо выбрать двух для выступления в парном разряде (порядок игроков не существен). Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Выбрать по очереди двух игроков можно способами. Если обозначить игроков различными буквами: A, B, C, то мы можем выписать все возможные комбинации из этих букв:

AB ВА СА

АС ВС СВ

Сначала мы брали игрока A и добавляли к нему в пару еще одного из двух оставшихся игроков. Так получились первые две пары AB и AC в нашем списке. Затем в качестве первого игрока мы взяли игрока B и к нему добавляли одного из двух оставшихся. Так получились пары ВА и ВС. Наконец, первым поставили игрока С и добавляли к нему одного из оставшихся игроков. Получили последние две пары СА и СВ.

Однако среди полученных таким образом комбинаций получились перестановки одной и той же пары. Например, AB и BA — это одна и та же пара. Совпадают и другие пары: AC и СA, а также BC и CB. Таким образом, получаются всего три различные пары:

AB AC BC

Заметим, что общее число всех возможных комбинаций букв A, B и С сократилось в 2 раза. Это произошло потому, что из двух разных букв можно составить ровно две перестановки.

Поэтому на самом деле два игрока можно выбрать способами.

Пример 2. Сколькими способами можно выбрать двух игроков из четырех заявленных на матч?

Решение. Выбрать по очереди двух игроков можно способами. Обозначим игроков А, В, С и D. Начнем, как и в предыдущем примере, составлять пары. Первого игрока мы можем выбрать четырьмя способами. Вторым к нему мы можем взять любого из оставшихся трех:

АВ BA CA DA

AC BC CB DB

AD BD CD DC

Получилось 12 комбинаций. При этом, как и в предыдущем примере, каждая пара посчитана дважды. Поэтому различных пар всего 6:

АВ АС АD BC BD CD.

Выбранных игроков мы сочетали между собой. Поэтому выбранные комбинации называют сочетаниями. Сочетания могут состоять не только из игроков, но из любых предметов. Часто при решении задач нужно найти количество сочетаний из определенного числа предметов.

4. Определение темы и целей урока.

Тема урока: «Сочетания. Треугольник Паскаля».

Цель урока: познакомить учащихся с понятиями сочетаний и с треугольником Паскаля, научить находить число сочетаний на примере простых задач и с помощью треугольника.

4. Работа по теме урока.

Если есть n предметов, то число способов, которыми можно выбрать ровно k из них, называется числом сочетаний из n по k и обозначается («цэ из эн по ка»).

Таким образом, мы установили, что , .

Если число n небольшое, то число сочетаний можно взять из треугольной таблицы, которая называется треугольником Паскаля.

Треугольная таблица, содержащая числа сочетаний, называется треугольником Паскаля.

Обычно треугольник Паскаля изображают в виде равнобедренного треугольника, поэтому столбцы в треугольнике получаются наклонные. Каждая строка треугольника Паскаля начинается и заканчивается единицей.

Столбцы и строки треугольника Паскаля нумеруются с нуля.

Каждое число в треугольнике Паскаля (кроме ) равно сумме двух чисел, стоящих над ним (для общности отсутствующие в треугольнике числа можно считать нулями).

Число стоит в n-й строке и в k-ом столбце. Например, чтобы найти , надо найти в треугольнике Паскаля, какое число стоит на пересечении 6-й строки и 4-го столбца. Это число 15. Значит, .

Числовой треугольник, содержащий числа сочетаний, известен по крайней мере с X в. В арабских трудах он появляется е позже XII в. В Иране его называют треугольником Хайама, в Китае – треугольником Яна Хуэя. Мы называем этот треугольник треугольником Паскаля по имени французского ученого Блеза Паскаля, который в середине XVII в. издал «Трактат об арифметическом треугольнике», где подробно описал его свойства.

Пример 3. Найдите в треугольнике Паскаля:

Желательный результат обсуждения:

Обратите внимание учеников на то, что для любого n верно равенство . Это равенство очень удобно: второе число в строке совпадает с её номером (нумерация, как мы помним, начинается с нуля).

Обратите внимание на симметрию треугольника: строки читаются одинаково справа налево и слева направо: . Поэтому в примере 1 у нас получилось .

Для любого числа n верны равенства . Строки начинаются и оканчиваются единицами.

Внимательный школьник может заметить, что . Если никто из школьников не заметил этого в первый раз, спровоцируйте школьников, предложив найти и сравнить числа или любую другую подходящую тройку. Предложите проверить найденное свойство для других троек, убедиться, совпадение это или нет.

Во всех случаях число равно сумме двух чисел, стоящих над ним. Это не случайность. Можно записать в общем виде:

Если n велико, то можно воспользоваться формулой:

Таким образом, с помощью факториала число сочетаний выражается через числа n и k.

Пример 4. Найти .

Решение:

Пример 5. На окружности отмечено 5 точек. Сколько можно нарисовать треугольников с вершинами в этих точках?

Решение. Никакие три точки окружности не лежат на одной прямой, поэтому любые три точки образуют треугольник. Речь идёт о выборе трёх точек из пяти возможных, а это число сочетаний из 5 по 3. Всего можно нарисовать треугольников.

Пример 6. Чемпионат России по шахматам проводится в один круг: каждый игрок играет ровно по одной партии со всеми другими. Сколько играется партий, если в чемпионате участвует 18 шахматистов?

Решение. Каждая партия – выбор двоих из 18 шахматистов. Можно составить партий.

Пример 7. В математическом кружке занимается 10 человек. Сколькими способами можно составить из них команду из четырёх человек для командной олимпиады?

Решение. Речь идет о числе сочетаний из 10 по 4. Команду можно выбрать способами.

Пример 8. В школьном литературном кружке принято меняться книгами. У одного школьника шесть новых книг, а у другого – восемь. Сколькими способами они могут обменять три книги одного на три книги другого?

Решение. Первый школьник может выбрать 3 книги для обмена способами, второй способами. Таким образом, число возможных вариантов обмена равно .

5. Отработка навыков по решению задач

1. Найдите:

2. Сравните числа:

3. Найдите значение:

4. Сколько существует способов выбрать один объект из совокупности: а) 50 предметов; б) 67 предметов?

5. Сколькими способами можно выбрать:

а) 49 предметов из 50; б) 64 предмета из 65?

6. Сколькими способами можно выбрать:

а) 7 предметов из 9; в) 4 предмета из 12;

б) 2 предмета из 6; г) 5 предметов из 13?

7. Сколькими способами можно отобрать стартовую шестёрку игроков в волейбольном матче, если всего в команде:

а) 10 игроков; б) 14 игроков?

8. Предприниматель хочет отправить рекламные объявления в 3 газеты. Сколькими способами можно выбрать эти 3 газеты из:

а) 6 газет; б) 7 газет; в) 10 газет?

9. В лотерее разыгрывается несколько выигрышных номеров из общего количества номеров. Сколько всего существует комбинаций выигрышных номеров, если:

а) разыгрываются 5 номеров из 36; б) разыгрываются 6 номеров из 49?

6. Рефлексия.

Что такое число сочетаний?

Как обозначить число сочетаний из 6 по 5?

Что такое треугольник Паскаля?

Треугольная таблица, содержащая числа сочетаний, называется числовым или арифметическим треугольником. В Европе мы называем числовой треугольник треугольником Паскаля, отдавая должное Блезу Паскалю, который подробно его исследовал. Строки и столбцы треугольника нумеруют с нуля.

7. Домашнее задание:

1дз. Допишите 11-ю строчку в треугольнике Паскаля.

2дз. В магазине 15 разных видов шоколадных конфет. Что больше: число способов составить набор из 6 разных конфет, из 8 разных конфет или из 9 разных конфет?

8. Для разработки урока использованы следующие источники:

Литература:

1. Математика. Вероятность и статистика. 7-9 классы. Базовый уровень. Учеб. пособие для общеобразоват. организаций. В 2 ч. / И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко. – М.: Просвещение, 2023. – 177 с.

2. Математика. Универсальный многоуровневый сборник задач. 7-9 классы. Учеб. пособие для общеобразоват. организаций. В 3 ч. / И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко. – М.: Просвещение, 2020. – 238 с.

3. Высоцкий И. Р. Дидактические материалы по теории вероятностей. 8-9 классы. – М. : МЦНМО, 2018. – 224 с.

4. Теория вероятностей и статистика / Ю. Н. Тюрин, А. А. Макаров, И. Р. Высоцкий, И. В. Ященко. — М.: МЦНМО: АО «Московские учебники», 2004. — 256 с.: ил.

Интернет:

Сайт «Математическая вертикаль / Вероятность в школе https://ptlab.mccme.ru/vertical