Решение жизненных кейсов

1. Карточки с чертежами (4 варианта для групп)

Карточка 1. «Прямоугольный двор с клумбой»

Условие: Квадратный двор 10×10 м. В нём – прямоугольная клумба (3×4 м) и треугольный газон (катеты 6 и 8 м). Остальное – асфальт.
Сколько м² нужно заасфальтировать?

Решим задачу пошагово.

1. Найдём площадь квадратного двора

Дано: сторона двора a=10 м.

Формула площади квадрата:

Sдвора​=a2

Подставляем значение:

Sдвора​=102=100 м2

2. Найдём площадь прямоугольной клумбы

Дано: длина клумбы l=4 м, ширина w=3 м.

Формула площади прямоугольника:

Sклумбы​=l⋅w

Подставляем значения:

Sклумбы​=4⋅3=12 м2

3. Найдём площадь треугольного газона

Дано: катеты треугольника a=6 м и b=8 м (газон имеет форму прямоугольного треугольника).

Формула площади прямоугольного треугольника:

Sгазона​=21​⋅a⋅b

Подставляем значения:

Sгазона​=21​⋅6⋅8=248​=24 м2

4. Найдём общую площадь клумбы и газона

Складываем площади клумбы и газона:

Sне асфальт​=Sклумбы​+Sгазона​=12+24=36 м2

5. Найдём площадь, которую нужно заасфальтировать

Вычитаем из площади двора общую площадь клумбы и газона:

Sасфальт​=Sдвора​−Sне асфальт​=100−36=64 м2

Ответ: нужно заасфальтировать 64 м².

Карточка 2. «Трапециевидный участок»

Условие: Участок имеет форму прямоугольной трапеции.
Основания: 12 м и 8 м. Высота = боковая сторона = 5 м.
Внутри – круглый газон диаметром 4 м.
Найдите площадь заасфальтированной части (без газона).

Решим задачу пошагово.

1. Найдём площадь прямоугольной трапеции

Дано:

• большее основание a=12 м;

• меньшее основание b=8 м;

• высота (она же боковая сторона, перпендикулярная основаниям) h=5 м.

Формула площади трапеции:

Sтрапеции​=2a+b​⋅h

Подставляем значения:

Sтрапеции​=212+8​⋅5=220​⋅5=10⋅5=50 м2

2. Найдём площадь круглого газона

Дано:

• диаметр газона d=4 м, значит, радиус r=2d​=24​=2 м.

Формула площади круга:

Sкруга​=πr2

Подставляем значения (возьмём π≈3,14):

Sкруга​=3,14⋅22=3,14⋅4=12,56 м2

3. Найдём площадь заасфальтированной части (без газона)

Газон находится внутри участка, поэтому его площадь нужно вычесть из площади трапеции:

Sзаасфальт.​=Sтрапеции​−Sкруга​=50−12,56=37,44 м2

Карточка 3. «Сложная фигура из треугольника и квадрата»

![описание: квадрат со стороной 8, на его стороне построен треугольник со сторонами 17 и 15]

Условие: К квадрату ABCD (сторона 8 м) примыкает треугольник CDE, где CD = 8 м, CE = 17 м, DE = 15 м.
Докажите, что треугольник прямоугольный, и найдите общую площадь фигуры ABCDE.

Доказательство, что треугольник CDE прямоугольный

Чтобы доказать, что треугольник CDE прямоугольный, воспользуемся теоремой Пифагора. Согласно ей, в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: a2+b2=c2.

В треугольнике CDE:

• CD=8 м,

• CE=17 м,

• DE=15 м.

Проверим, выполняется ли равенство для этих сторон. Предположим, что CE — гипотенуза (так как это самая длинная сторона):

1. Вычислим квадраты сторон:

   • CD2=82=64,

   • DE2=152=225,

   • CE2=172=289.

2. Сложим квадраты двух меньших сторон:

CD2+DE2=64+225=289.

1. Сравним с квадратом наибольшей стороны:

CE2=289.

Получаем: CD2+DE2=CE2, то есть 64+225=289. Равенство выполняется, значит, треугольник CDE — прямоугольный с прямым углом при вершине D.

Нахождение общей площади фигуры ABCDE

Фигура ABCDE состоит из квадрата ABCD и треугольника CDE. Найдём площади этих фигур по отдельности и сложим их.

1. Площадь квадрата ABCD

Сторона квадрата ABCD равна 8 м. Площадь квадрата вычисляется по формуле:

Sквадрата​=a2,

где a — длина стороны.

Подставляем значение:

SABCD​=82=64 м2.

2. Площадь треугольника CDE

Треугольник CDE прямоугольный с катетами CD=8 м и DE=15 м. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

S△CDE​=21​⋅CD⋅DE.

Подставляем значения:

S△CDE​=21​⋅8⋅15=2120​=60 м2.

3. Общая площадь фигуры ABCDE

Складываем площади квадрата и треугольника:

SABCDE​=SABCD​+S△CDE​=64+60=124 м2.

Ответ:

• Треугольник CDE прямоугольный (по теореме Пифагора).

• Общая площадь фигуры ABCDE равна 124 м².

Карточка 4. «Двор со сломанной диагональю» (подобие)

Условие: Прямоугольник 14×10 м. Из центра пересечения диагоналей проведены отрезки к серединам сторон. Получилось 4 маленьких четырёхугольника.
Требуется заасфальтировать два противоположных (не соседних).
Какова их общая площадь?

Разберу задачу подробно — с пояснением геометрии и расчётами.

Шаг 1. Исходные данные и визуализация

Имеется прямоугольник со сторонами:

• a=14 м (длина),

• b=10 м (ширина).

Из центра пересечения диагоналей (точка O) проведены отрезки к серединам всех четырёх сторон. В результате прямоугольник разделён на четыре четырёхугольника.

Шаг 2. Геометрические свойства получившихся фигур

Ключевое наблюдение:

• Точка O — центр симметрии прямоугольника.

• Отрезки из O к серединам сторон делят прямоугольник на четыре равных четырёхугольника (по свойствам симметрии).

• Каждый такой четырёхугольник — воздушный змей (дельтоид): две пары смежных сторон равны.

Шаг 3. Расчёт площади всего прямоугольника

Формула площади прямоугольника:

Sпрям​=a⋅b

Подставляем значения:

Sпрям​=14⋅10=140 м2

Шаг 4. Площадь одного маленького четырёхугольника

Поскольку все четыре четырёхугольника равны, площадь каждого:

Sчетвёртого​=4Sпрям​​=4140​=35 м2

Шаг 5. Площадь двух противоположных четырёхугольников

По условию нужно заасфальтировать два противоположных (не соседних) четырёхугольника. Их общая площадь:

Sасфальт​=2⋅Sчетвёртого​=2⋅35=70 м2

Ответ: необходимо заасфальтировать 70 м².

Проверка логики:

• Два противоположных четырёхугольника занимают ровно половину площади прямоугольника (симметрия).

• Половина от 140 м² — это 70 м², что подтверждает правильность расчёта.

2. Карточки-«Дополнительные данные» (выдаются после обсуждения)

Некоторые группы будут тупиковать – им даём карточку-подсказку или карточку с лишним условием (развивает критическое мышление).

Карточка-подсказка (стандартная)

Формулы, которые могут пригодиться:

• Площадь квадрата = a²

• Площадь треугольника = ½ · a · h

• Площадь трапеции = ½·(a+b)·h

• Площадь круга = π·R²

• Теорема Пифагора: c² = a² + b²

Карточка-«Ловушка» (лишнее данное)

Для карточки №3:
Вам сообщили, что угол DCE = 60°, а высота треугольника из вершины E равна 7,5 м.
Вопрос: нужно ли это для решения? Если нет, почему?

Карточка-«Посчитай по-другому» (для сильных)

Для карточки №2:
Найдите площадь трапеции не по формуле, а достроив её до прямоугольника или разбив на квадрат и треугольник.
Сравните результаты.

3. Карточки для этапа «Рефлексия» (разрезать и раздать каждому)

Ученик получает маленькую карточку и загибает/отмечает вариант перед уходом.

Я чувствую себя на уроке геометрии как…

1. 🏗️ Инженер, у которого всё получилось.

2. 🧩 Человек, который собрал пазл, но не до конца.

3. 🤯 Мне нужен ещё один такой же урок, чтобы разобраться.

4. 📉 Я потерялся в формулах – это не моё.

Плюс один вопрос учителю (напиши с обратной стороны):

1. Карточка «Экспресс»

(для индивидуальной работы в конце урока,

5-7 минут)

Можно использовать как выходной билет.

Задача:
На клетчатой бумаге изображена фигура (картинка: многоугольник с узлами в клетках). Сторона клетки = 1 м.
✅ Найдите площадь фигуры по формуле Пика (или разбиением).
✅ Запишите ответ в м².

Бланк ответа:
Площадь = _______ м²
Способ решения (подчеркни): разбиение / формула Пика / достраивание.

Как использовать эти карточки в нестандартном уроке

1. Раздать чертежи группам (по 1 карточке на группу) – 5 минут на обсуждение.

2. Выдать карточку-данные (подсказку или ловушку) через 3 минуты – это создаёт «эффект неожиданности».

3. Поменяться карточками между группами – теперь каждая решает чужую задачу (7 минут).

4. Рефлексия – каждый получает маленькую карточку-настроение.

Я чувствую себя на уроке геометрии как…

1🏗️ Инженер, у которого всё получилось.

2🧩 Человек, который собрал пазл, но не до конца.

3🤯 Мне нужен ещё один такой же урок, чтобы разобраться.

4 📉 Я потерялся в формулах – это не моё.

Плюс один вопрос учителю (напиши с обратной стороны):

Я чувствую себя на уроке геометрии как…

1. 🏗️ Инженер, у которого всё получилось.

2. 🧩 Человек, который собрал пазл, но не до конца.

3. 🤯 Мне нужен ещё один такой же урок, чтобы разобраться.

4. 📉 Я потерялся в формулах – это не моё.

Плюс один вопрос учителю (напиши с обратной стороны):

Я чувствую себя на уроке геометрии как…

1. 🏗️ Инженер, у которого всё получилось.

2. 🧩 Человек, который собрал пазл, но не до конца.

3. 🤯 Мне нужен ещё один такой же урок, чтобы разобраться.

4. 📉 Я потерялся в формулах – это не моё.

Плюс один вопрос учителю (напиши с обратной стороны):

Я чувствую себя на уроке геометрии как…

1. 🏗️ Инженер, у которого всё получилось.

2. 🧩 Человек, который собрал пазл, но не до конца.

3. 🤯 Мне нужен ещё один такой же урок, чтобы разобраться.

4. 📉 Я потерялся в формулах – это не моё.

Плюс один вопрос учителю (напиши с обратной стороны):

Я чувствую себя на уроке геометрии как…

1. 🏗️ Инженер, у которого всё получилось.

2. 🧩 Человек, который собрал пазл, но не до конца.

3. 🤯 Мне нужен ещё один такой же урок, чтобы разобраться.

4. 📉 Я потерялся в формулах – это не моё.

Плюс один вопрос учителю (напиши с обратной стороны):

Я чувствую себя на уроке геометрии как…

1. 🏗️ Инженер, у которого всё получилось.

2. 🧩 Человек, который собрал пазл, но не до конца.

3. 🤯 Мне нужен ещё один такой же урок, чтобы разобраться.

4. 📉 Я потерялся в формулах – это не моё.

Плюс один вопрос учителю (напиши с обратной стороны):