Решение задач с помощью рациональных уравнений

Решение задач с помощью рациональных уравнений

Подготовила Коновалова Ю.С., учитель математики

Цель: подборка интересных нестандартных задач и задач с практической направленностью для уроков алгебры в 8 классе

Актуальность темы

Практически все изучаемые математическими представлениями явления и процессы в конечном итоге сводятся к решению уравнений, неравенств или систем уравнений различной степени сложности

Теоретический материал

Часто условие задачи представляет собой описание какой-то реальной ситуации. Составленное по условию уравнение – это результат перевода условия задачи с русского языка на математический, его называют математической моделью ситуации

Можно выделить три этапа решения прикладной задачи:

• Построение математической модели
• Решение математической задачи
• Анализ полученного результата исходя из содержания прикладной задачи

Задача №1 (может быть предложена на уроке усвоения новых знаний на этапе закрепления)

В квартире проектируется две комнаты одинаковой ширины. Длина первой комнаты в 1,5 раза больше ее ширины, а длина второй комнаты 7,2 м. Определите, какой ширины должны быть комнаты, если общая их площадь может быть 56,7 м2?

Решение: пусть ширина комнат равна м, , тогда длина первой комнаты равна м . Так как комнаты имеют форму прямоугольника, то площадь первой будет равна м 2 , а второй - м 2 . Общая площадь комнат составляет 56,7 м2, составим уравнение: ;

;

.

Корнями полученного уравнения являются и

. Заметим, что второй корень не удовлетворяет условию, поэтому ширина комнат равна 4,2 м.

Ответ: 4,2 м

Задача №2 (может быть предложена на уроке усвоения новых знаний как пример применения известной математической модели)

Егор копит деньги на автомобиль. Он положил 120000 рублей в банк под проценты и с тех пор счёт не пополнял. Какой процент ежегодно начислялся банком, если спустя два года на счету стало 134832 рублей?

• Решение: пусть банк начислял ежегодно , на сумму в размере рублей, тогда по формуле сложных процентов через два года на счету Егора будет рублей. Так как эта сумма равна рубля, составим уравнение: ;
• ;
• ;
• ;
• Ответ:

Задача №3 (может быть предложена на уроке применения знаний, демонстрирует умение применить знания алгебры и геометрии, является ярким примером прикладной задачи)

В настоящее время на рынке мобильной связи идет большая конкуренция среди операторов. Чем надежнее связь, чем больше зона покрытия, тем больше потребителей у оператора. При строительстве вышки (антенны) часто приходится решать задачу: какую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе, если известно, что радиус Земли равен 6380 км. Какую высоту должна иметь вышка мобильной связи, поставленная в нашем городе, чтобы село Дубки и Чистенькое попали в зону связи (расстояние от вышки до данных сел по прямой не больше 25 км.)?

Пусть км – высота антенны, – радиус приёма передач, – радиус земли, тогда – прямоугольный с , км, км. По теореме Пифагора , составим уравнение:

; ;

; ,

. Корнями полученного уравнения являются

, . Заметим, что первый корень не удовлетворяет условию, поэтому высота вышки км.

Ответ: км

Решение:

Задача №4 (может быть предложена на уроке применения знаний на этапе самостоятельной работы с дальнейшим обсуждением решения)

На новогоднем празднике каждый ученик восьмого класса подарил маленькие подарки всем своим одноклассникам. Сколько человек учится в этом классе, если всего на празднике было вручено 420 подарков?

Решение : пусть в классе человек, , тогда каждый из них подарит подарок.

Так как всего подарков 420, составим уравнение:

Корнями полученного уравнения являются

и . Заметим, что второй корень не удовлетворяет условию, поэтому в классе учится 21 человек.

Ответ: 21 человек

Задача №5 (нестандартная задача может быть предложена на уроке применения знаний)

Блогер Марк выпустил пост и заметил интересную закономерность. Если бы на этот пост написали на 2 комментария больше, то общее число возможных пар «комментарий и ответ» стало бы 90. Известно, что Марк отвечает на каждый комментарий и пишет один ответ в конце дискуссии. Сколько комментариев было изначально?

Решение: пусть изначально было комментариев, , тогда общее количество ответов Марка было . Если комментариев будет на 2 больше, то каждому из комментариев будет соответствовать 1 из ответов, а значит общее количество пар «комментарий и ответ» станет . Так как по условию это 90, составим уравнение: ,

Корнями полученного уравнения являются и

. Заметим, что второй корень не удовлетворяет условию, поэтому изначально было 8 комментариев.

Ответ: 8 комментариев

Задача №6 (может быть предложена на уроке применения знаний для работы в парах или самостоятельно сильным учащимся)

Из шахматного турнира двое участников выбыли, причем один сыграл 10 партий, а второй только одну. Поэтому в турнире было сыграно всего 55 партий. Определить, играли ли выбывшие участники между собой и сколько было участников первоначально?

Решение: пусть первоначально было человек, . Два человека выбыло, значит стало . Каждый из них сыграл партий, так как каждые 2 человека играют 1 партию. Тогда всего ими было сыграно партий.

1 ситуация: выбывшие участники не играли между собой, тогда было сыграно 44 партии, составим уравнение: ;

, корни квадратного уравнения являются иррациональными числами, что противоречит условию задачи.

2 ситуация: выбывшие участники играли между собой, тогда было сыграно 45 партий, составим уравнение: ;

.

Корнями полученного уравнения являются и . Заметим, что второй корень не удовлетворяет условию, поэтому первоначально было 12 человек.

Ответ: выбывшие участники играли между собой, было 12 человек

Заключение

Предложенные примеры задач демонстрируют, как уравнения помогают не только в теоретических исследованиях, но и в практико-ориентированных задачах, а также в задачах, требующих применения математической грамотности обучающихся

Спасибо за внимание