Разработка урока

ТЕМА: Признак параллельности прямых через равенство расстояний от точек одной прямой до второй прямой

- Ознакомьтесь с материалом:

  – прямые, с – секущая.

Рис. 1

Возникает много углов (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8). Эти углы важны для нас, и поэтому они имеют названия:

- смежные углы:   ,   ,   ,    и т.д. (сумма смежных углов равна 180°);

- вертикальные углы:   ,   ,   ,    (вертикальные углы равны);

- накрест лежащие углы:   ,   ;

- односторонние углы:   ,

- соответственные углы:   ,   ,   ,   .

Основные теоремы о параллельности прямых:

Рис. 2

Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. И наоборот, если прямые параллельны, то накрест лежащие углы равны.

Рис. 3

Если соответственные углы равны, то прямые параллельны. И наоборот, если прямые параллельны, то соответственные углы равны.

Рис. 4

Если сумма внутренних углов равна 180°, то прямые параллельны. И наоборот, если прямые параллельны, то сумма внутренних углов равна 180°.

Типовые задачи на признаки параллельности прямых.

Задача 1:

Отрезки    пересекаются в их общей середине. Докажите, что   .

Дано:  .

Доказать:   .

Рис. 5

Доказательство:

Тогда, по первому признаку равенства треугольников,   .

Тогда   .

Поскольку эти углы являются накрест лежащими при прямых   и секущей   , то по первому признаку параллельности прямых   , что и требовалось доказать.

Задача 2:

На рисунке   , угол 7 в 3 раза больше угла 2. Докажите, что   .

Дано:  .

Доказать:  .

Рис. 6

Доказательство:

1.  ;

2.   (как вертикальные);

  (как вертикальные);

3.   .

Тогда, поскольку сумма внутренних углов равна 180°, то по третьему признаку параллельности прямых,   , что и требовалось доказать.

Задача 3:

Рис. 7

Дано:  .

Доказать:  .

Доказательство:

На рисунке видно, что АВ – общая сторона.

Из равенства треугольников следует, что   .

Тогда   .

  – являются накрест лежащими углами прямых АС и BD и секущей АВ.

Тогда по первому признаку параллельности прямых  .

  – являются накрест лежащими углами прямых AD и BC и секущей АВ.

Тогда по первому признаку параллельности прямых  .

РЕШИТЕ ЗАДАЧИ САМОСТОЯТЕЛЬНО:

1. Прямая KP пересекает прямую АВ в точке К, а прямую CD в точке P. Параллельны ли прямые АВ и CD, если   ?

2. Прямая KP пересекает прямую АВ в точке К, а прямую CD в точке P так, что точки B и D лежат по одну сторону от прямой KP. Параллельны ли прямые АВ и CD, если  ?

3. Через концы отрезка АВ с одной стороны от него проведены лучи АР и ВС. Параллельны ли эти лучи, если:

 ;

 ?