Проценты: от пятого класса до профильного ЕГЭ. Полная вертикаль: скидки, кредиты, оптимизация

Автор: Шредер Александр Дмитриевич, учитель математики

Название: «Проценты: от пятого класса до профильного ЕГЭ. Полная вертикаль: скидки, кредиты, оптимизация»

Аннотация: В статье представлена целостная система изучения темы «Проценты» с 5 по 11 класс. Подробно, на конкретных примерах с полным решением, разобраны все типы задач: от нахождения процента от числа до сложных экономических моделей из ЕГЭ (аннуитетные и дифференцированные платежи, задачи на оптимизацию). Материал снабжён моими комментариями и «ловушками», в которые попадают ученики.

Все примеры взяты из открытых источников и адаптированы под реальный учебный процесс.

В большинстве УМК проценты проходят дважды: мельком в 5–6 классе и в «задачках на проценты» в 9-м. А в 11-м вдруг выясняется, что дети не могут решить экономическую задачу №16. Почему? Потому что между арифметическим пониманием («раздели на 100») и функциональным («модель изменения капитала») — пропасть.

Я строю всю работу как четыре уровня. Переходить на следующий можно только когда предыдущий отработан до автоматизма.

Уровень 1 (5–6 кл): Нахождение процента от числа и числа по его проценту. Реальность: скидки, налоги.

Уровень 2 (6–7 кл): Сколько процентов одно число составляет от другого. Изменение величины в процентах.

Уровень 3 (8–9 кл): Сложные проценты, концентрация смесей, задачи с «сухим веществом».

Уровень 4 (10–11 кл): Экономические задачи ЕГЭ. Кредиты, вклады, оптимизация производства.

Поехали.

Здесь мы вводим только одно правило, но вбиваем его железобетонно:

Нахождение процента от числа

Задача 1 (скидка в магазине).

Куртка стоит 4500 рублей. На неё действует скидка 30%. Сколько стоит куртка со скидкой?

Как я объясняю у доски:

1.

2.

3.

4.

Лайфхак, который дети запоминают навсегда:

Я запрещаю на этом этапе пользоваться калькулятором — только устный счёт с сокращением дробей.

Задача 2 (налог на доходы).

Зарплата Ивана 50 000 рублей. НДФЛ = 13%. Сколько денег он получит на руки?

Решение:

Обратная задача, которая вызывает ступор:

«Иван получил на руки 43 500 руб. Это после вычета 13% налога. Какая его начисленная зарплата?»

Здесь дети часто ошибочно вычитают 13% из 43500. Нельзя!

Вывод для ученика:

Нахождение числа по его проценту

Задача 3.

В школе 20% учеников — пятиклассники, и это 80 человек. Сколько всего учеников?

Рассуждение:

.

Этот уровень — самый важный для будущего понимания экономических задач. Здесь мы учимся отвечать на вопрос: «Сколько процентов составляет А от Б?» и «На сколько процентов изменилась величина?»

Какую часть одно число составляет от другого

Задача 4.

В классе 15 девочек и 10 мальчиков. Сколько процентов класса составляют девочки? Мальчики?

Алгоритм, который дети запоминают как «делим то, что сравниваем, на то, с чем сравниваем»:

1.

2.

3.

Типичная ошибка: ученик пишет или . Каждый раз проговариваем: «Часть делим на целое».

Изменение величины в процентах (самое важное!)

Задача 5 (рост цены).

Товар стоил 200 рублей, а стал стоить 260 рублей. На сколько процентов выросла цена?

Пошагово у доски:

1.

2.

3.

Задача 6 (падение и рост — ловушка!).

Цену товара сначала повысили на 20%, а потом снизили на 20%. Вернулась ли цена к исходной?

Решаем на конкретном числе, например, 100 руб.

1.

2. .

3.

4.

Почему так? Потому что 20% от большего числа — это большая абсолютная величина. Записываем формулу ( :

Запоминаем: последовательное изменение на x% и на -x% не возвращает исходную величину.

Здесь вводится понятие, которое ломает многих: каждый следующий процент начисляется на уже изменённую сумму.

Формула сложных процентов

Если сумма P помещена в банк под r % годовых на n лет, то через n лет она станет:

Задача 7 (вклад без пополнения).

Клиент положил 100 000 руб. под 10% годовых на 3 года. Какая сумма будет на счету?

Решение:

Задача 8 (ловушка с разными процентами).

Вклад под 10% годовых, но через год ставка повысилась до 12%. Капитал через 2 года?

Решение:

Задачи на «сухое вещество» (смеси, сплавы)

Хотя формально это не проценты, но логика та же. Я даю их именно здесь, чтобы подготовить к экономическим моделям.

Задача 9.

Имеется 50 кг раствора кислоты концентрацией 30%. Сколько чистой кислоты в этом растворе?

Решение:

Задача 10 (добавляем воду).

К 50 кг 30%-го раствора добавили 20 кг воды. Какова новая концентрация?

Решение:

1.

2.

3. .

Вывод: при добавлении воды (чистого растворителя) количество вещества не меняется, а концентрация падает. Это пригодится в задачах ЕГЭ про смеси.

Теперь — самое интересное. В ЕГЭ (задание №16) есть два основных типа кредитов, и третий тип — на оптимизацию (производство или вклады).

Я разберу каждый тип максимально подробно, с полной таблицей, с выводом формул и с комментариями «почему мы делаем именно так».

Аннуитетный платёж (одинаковые платежи)

Что это такое. Вы каждый месяц/год платите банку одну и ту же сумму. Но в начале вы платите в основном проценты, а тело долга уменьшается медленно.

Условие задачи (реальная из ЕГЭ):

31 декабря 2020 года Сергей взял кредит в банке на 1 000 000 рублей под 20% годовых. Схема выплаты: 31 декабря каждого года банк начисляет проценты на остаток долга, затем Сергей переводит в банк определённую сумму (одну и ту же каждый год). Он выплатил кредит за 4 года. Найдите величину ежегодного платежа.

Решение (подробнейшее)

Обозначения:

.

.

Таблица: Динамика долга для аннуитетного платежа

Ключевой момент: в последней ячейке (Долг после платежа за 4-й год) должен быть 0. Потому что кредит погашен.

Получаем уравнение:

Ответ: ежегодный платёж ≈ 386 326 руб.

Как я объясняю эту таблицу своим ученикам:

«Смотрите, каждый год происходит одно и то же: берём долг с прошлого года, умножаем на 1,2 (это начисление процентов), потом вычитаем платёж x. В первый год долг огромный — поэтому процентов много, и почти весь платёж уходит на них, а тело кредита уменьшается чуть-чуть. В последний год долг маленький — процентов мало, и платёж в основном гасит остаток. Таблица позволяет не путаться. Самое трудное — аккуратно посчитать коэффициенты при S и при x. Но, если заполнить таблицу шаг за шагом, ошибиться почти невозможно».

Дифференцированный платёж (долг уменьшается равномерно)

Этот тип проще для понимания, но требует аккуратности.

Условие:

Клиент взял кредит S на n лет под r % годовых. Каждый год он сначала гасит проценты за пользование кредитом, а затем — одинаковую часть тела долга . Найти общую сумму выплат.

Задача из ЕГЭ:

15-го января планируется взять кредит в банке на 1 млн рублей на 6 месяцев. Условия:

— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего месяца.

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга так, чтобы долг на 15-е число каждого месяца уменьшался на одну и ту же величину (это ключевая фраза!).

Найти r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1,15 млн рублей.

Здесь главное — понять, что долг на 15-е число уменьшается равномерно. Значит, каждый месяц мы гасим одну и ту же сумму тела кредита.

Проценты же начисляются на остаток долга перед началом месяца (то есть на долг, который был на 15-е число прошлого месяца после выплаты).

Решение

Обозначения:

Если долг на 15-е число уменьшается на одну и ту же величину, значит, тело кредита гасится равными долями: рублей.

Но проценты каждый месяц начисляются на остаток долга. Поэтому платежи будут разными:

Таблица: Динамика долга для дифференцированного платежа

Для более легкого восприятия, в таблице, лучше вместо S писать 1 000 000

Теперь считаем общую сумму выплат (Она складывается из двух частей):

1. Погашение тела кредита:

2. Сумма процентов: и умножаем на сумму коэффициентов

Сумма дробей:

Итак, сумма процентов =

Общая выплата по условию =

Ответ: .

Как я объясняю эту таблицу ученикам

«Здесь долг каждый месяц падает на одну и ту же сумму — на . Поэтому проценты каждый месяц начисляются на всё меньшую сумму. Самый большой платёж — в первый месяц (начислено на 1 млн), самый маленький — в последний (начислено на млн). Таблица помогает не забыть, на какой именно остаток начисляются проценты. Ключевая формула: сумма выплат = тело кредита + сумма процентов. А сумма процентов — это средний остаток долга умножить на процентную ставку».

Задачи на оптимизацию (самые хитрые)

Здесь нет кредитов. Есть, например, два вклада в разных банках с разными условиями, или производство, где нужно выбрать наилучший вариант. Математически это сводится к сравнению линейных или показательных функций.

Пример упрощённый (но из реального ЕГЭ):

У вас есть 10 млн рублей. Вы можете положить их в банк А под 10% годовых с капитализацией или в банк Б под 11% годовых без капитализации (проценты начисляются, но не прибавляются к телу вклада, а выплачиваются отдельно). Через 2 года какой вариант выгоднее?

Решаем:

Таблица: Динамика долга для дифференцированного платежа

Сравнение: . Банк Б выгоднее.

Вывод, который я требую запомнить: для коротких сроков (2–3 года) бывает выгоднее высокая ставка без капитализации, для длинных — капитализация «делает погоду». Таблица позволяет это наглядно увидеть.

1. Никогда не пропускайте устный счёт с процентами в 5–6 классе. «Сколько будет 10% от 250? А 20%? А 25%?» — эти навыки окупаются в 11-м классе.

2. Вводите понятие «коэффициент k» как можно раньше: . Это снимает страх перед формулами сложных процентов.

3. Экономические задачи учите решать через таблицу (год/месяц, долг до начисления, начисление, платёж, долг после). К 11 классу это становится рефлексом.

4. Обязательно разбирайте ловушку с последовательным повышением и понижением. Она встречается и в ОГЭ, и в ЕГЭ, и в жизни.

5. Давайте реальные числа. Вместо абстрактного S пусть будет 1 млн или 100 тыс. Тогда ученик видит порядок величин и не боится.

И последнее, что я всегда говорю детям перед экзаменом:

«Проценты — это не магия. Это просто умножение и деление на 100. Если вы дошли до этого абзаца — вы уже сильнее 80% сдающих. А теперь возьмите листок и распишите первый год кредита. Остальное приложится».

Удачи вашим ученикам!