Построение графика квадратичной функции - конспект урока

Конспект открытого урока алгебры в 9 классе

Тема: Построение графика квадратичной функции

Тип урока: урок изучения нового материала (первый урок по теме)

Класс: 9

Время: 45 минут

Форма: открытый урок

Оборудование: доска, интерактивная доска/проектор, шаблон параболы , цветной мел, карточки для самостоятельной работы.

Цель урока:

Сформировать умение строить график квадратичной функции c на основе нахождения координат вершины параболы.

Задачи урока

Образовательные:

· актуализировать знания о преобразованиях графика

· ввести понятие оси симметрии параболы;

· вывести формулы координат вершины параболы

· сформировать алгоритм построения графика квадратичной функции;

· научить применять алгоритм при построении графиков.

Развивающие:

· развивать логическое мышление при выводе формул через выделение полного квадрата;

· развивать умение наблюдать, сравнивать, делать выводы;

· развивать математическую речь и навыки самоконтроля.

Воспитательные:

· воспитывать аккуратность при выполнении графических построений;

· формировать интерес к математике;

· воспитывать культуру учебного диалога, умение слушать других.

Ход урока

1. Организационный момент — 1 мин

Приветствие, проверка готовности класса, сообщение темы и цели урока.

Сегодня мы научимся строить график любой квадратичной функции, не перебирая много точек. Нам помогут уже известные преобразования графика .

2. Устная работа и актуализация — 8 мин

На доске заранее записаны функции:

1.

2.

3.

4.

5.

Вопросы классу:

· Как из графика получить график

Ответ: сдвинуть вправо на 3.

· Как получить ?

Ответ: сдвинуть вверх на 4.

· Как получить ?

Ответ: влево на 2 и вниз на 3.

· Как получить ?

Ответ: растянуть в 2 раза от оси Ox, отразить вниз, сдвинуть вправо на 1 и вверх
на 5.

· Назовите вершину каждой параболы:

→ (3;0)

→ (0;4)

→ (-2;-3)

→ (1;5)

Вывод: если функция записана в виде , то вершина параболы — (m;n).

3. Введение понятия «ось симметрии» — 4 мин

Работаем с функцией которая уже есть в списке.

Составим таблицу:

Вопросы классу:

· Сравните значения при x=2 и x=4. Что заметили?

Ответ: они одинаковые, y=1.

· А при x=1 и x=5?

Ответ: тоже одинаковые, y=4.

· Как расположены эти точки на координатной плоскости?

Ответ: на одинаковом расстоянии слева и справа от прямой x=3.

Вводим термин:

Вертикальную прямую x=3, проходящую через вершину параболы, называют осью симметрии параболы. Относительно неё график симметричен: точки с одинаковым расстоянием от этой прямой имеют одинаковые ординаты.

Закрепим на второй функции .

Вершина: (-2;-3).

Таблица:

Учащиеся убеждаются: f(-3)=f(-1)=-2, f(-4)=f(0)=2. Значит, ось симметрии — x=-2.

Вывод: ось симметрии параболы проходит через её вершину.

4. Пропедевтика и создание проблемной ситуации — 4 мин

На доске записана функция:

Вопрос: Можно ли сразу назвать вершину этой параболы?

Ответ: нет, запись не похожа на y=a(x-m)^2+n.

Вопрос: Что можно сделать с квадратным трехчленом , чтобы увидеть вершину?

Подсказка: вспомните формулу квадрата двучлена, выделить квадрат двучлена из квадратного трехчлена

Учащиеся предлагают выделить полный квадрат:

Значит,

Теперь видно: вершина (3;-4), ось симметрии x=3.

Проблема: а если дана общая функция ? Неужели каждый раз надо выделять квадрат заново? Можно ли получить общие формулы?

5. Объяснение нового материала. Вывод формул вершины — 17 мин

5.1. Вывод формул вершины и оси симметрии – 10 мин.

Рассмотрим общий вид квадратичной функции:

Вынесем коэффициент a за скобки как общий мнодитель:

Выделим полный квадрат. Вспомним:

Значит:

Формулы координат вершины параболы:

Ординату вершины можно найти и проще — подстановкой в саму функцию:

Ось симметрии параболы:

Направление ветвей:

· если a0, ветви вверх, вершина — точка минимума;

· если a

5.2. Введение нулей функции и составление алгоритма – 7 мин

Мы умеем находить вершину и ось симметрии параболы. Но чтобы график был точным, нужно знать, где парабола пересекает ось Ох. Как это найти?

Ответ: решить уравнение

Верно. Эти значения х называют нулями функции – это значения аргумента при которых f(x)=0. На графике им соответствуют точки пересечения с осью Ох.

Вопрос: Сколько нулей может быть у квадратичной функции?

Ответ: столько же, сколько и корней, два, один или ни одного, в зависимости от дискриминанта.

Вопрос: что это значит для графика функции?

Ответ: количество точек пересечения параболы с осью Ох (две точки пересечения, одна точка касания или парабола не пересекает ось Ох.)

Вопрос: А как связаны корни уравнения с осью симметрии?

Ответ: корни симметричны относительно вершины: .

Это еще раз подтверждает, что ось симметрии проходит через середину между корнями.

Алгоритм построения графика

1. Определить направление ветвей по знаку a

2. Найти } — абсциссу вершины параболы

3. .Найти — ординату вершины.

4. Отметить вершину и провести ось симметрии .

5. Найти нули функции: решить уравнение Отметить найденные точки на оси Оx. Если Dx

6. Взять 2–3 пары точек, симметричных относительно оси , например Это удобный прием: значения функции в точках
   совпадают, поэтому ординату считаем один раз и сразу отмечаем две точки

7. Отметить точку (0;c) и симметричную ей относительно оси.

8. Провести плавную параболу через полученные точки.

6. Первичное закрепление — 10 мин

Пример. Построить график функции:

Работаем вместе с классом.

1. a=10, вети направлены вверх..

2. Вершина:

Вершина: (2;-1), ось симметрии x=2.

3. Нули функции: , значит х₁=1, х₂=3. Отмечаем точки: (1;0) и (3;0).

4. Точка (0;с) – точка пересечения параболы с осью Оу. (отмечаем (0;3) и симметричную ей (4;3)

5. Вспомогательные точки при необходимости. x=-1, найти f(-1), отметить ее и ей симметричную.

6. Проводим параболу

Вопросы учащимся по ходу:

· Почему ветви направлены вверх?

· Почему точки x=1 и x=3 имеют одинаковые ординаты?

· Где проходит ось симметрии?

· Почему точки x_в=2 – это середина между корнями 1 и 3?

7. Самостоятельная мини-работа — 2 мин

Найти координаты вершины и уравнение оси симметрии:

1. (Ответ (1;-4) ось х=1, нули х=-1, х=3.)

2. ( Ответ: вершина (3;4), ось x=3, нули х=1, х=5.)

Проверка — фронтально, с комментариями учащихся.

8. Итог, рефлексия, домашнее задание — 1 мин

Вопросы:

· Что нового узнали на уроке?

· По какой формуле находится абсцисса вершины параболы?

· Как найти ординату вершины?

· Что называют осью симметрии параболы?

· Что было самым трудным?

1. Домашнее задание:

1. Выучить формулы

2. Построить графики:

Для каждой функции найти вершину, ось симметрии и 4–5 точек.

3. Дополнительно:

Технологическая карта урока

Итого: 45 минут.

Ключевые моменты урока

· Цель одна: сформировать умение строить график квадратичной функции через вершину параболы.

· Ось симметрии вводится на уже знакомых функциях из устной работы
( , ) до вывода общей формулы.

· Нули функции вводятся при составлении алгоритма — после вершины и оси симметрии, до вспомогательных точек. Это опирается на ранее изученные квадратные уравнения и усиливает идею симметрии.

· Точки — удобный приём, основанный на симметрии, а не обязательное правило; можно брать любые пары, симметричные относительно
· Вывод формул вершины идёт через выделение полного квадрата с активным участием учащихся.

· Проблемная ситуация ( ) мотивирует переход к общему случаю .

· Пример для закрепления подобран с целыми корнями ( ), чтобы алгоритм был виден чётко и без отвлечения на иррациональные вычисления.