Подготовка к ЕГЭ по математике (профильный уровень). Логарифмические неравенства

«Логарифмические неравенства в ЕГЭ»

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

Логарифмические уравнения.

Определение 1. Простейшим логарифмическим уравнениям (т.е. уравнением, содержащим неизвестное под знаком логарифма) является , где а0, a≠1.

Основные методы решения простейших логарифмических уравнений.

1 метод. Использование определение логарифма.

Так как равенство равносильно равенству , то получаем: если а0, a≠1, то корень уравнения равен .

2 метод. Использование свойств логарифма.

Для любых a; a0; и для любых x0; y0

1. - основное логарифмическое тождество

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. , при k ≠ 0

3 метод. Метод потенцирования.

Теорема1. Уравнение , где а0, a≠1 равносильно системе

, состоящей из уравнения и неравенств.

Замечание. В этой системе можно опустить одно из неравенств, т.к. каждое из них вытекает из уравнения и другого неравенства. Т.о., для решения уравнения при а0, a≠1:

решить уравнение f(х)= g(х). Из найденных корней отобрать те, которые удовлетворяют неравенству f(х)0 (или, что то же самое, неравенству g(х)0; Обычно используют более простое из этих неравенств), а остальные корни отбросить, так как они является для данного уравнения посторонними.

4 метод. Метод введения новой переменной.

Логарифмическое уравнение вида  решается с помощью подстановки .

Она приводит уравнение к виду f(t)=0. Если ,…, – корни полученного уравнения, то корнями заданного уравнения являются числа ,…, .

5 метод. Метод перехода к новому основанию.

1.

2.

6 метод. Метод логарифмирования.

Берется логарифм от левой и правой частей уравнения.

7 метод. Метод функционально-графический

1. Графический метод заключается в построении графиков функций в одной системе координат и отыскание абсциссы точки пересечения графиков.

2. Функциональный метод заключается в следующем: если одна из функций у = f(x)возрастает, а другая y = g(x) убывает на промежутке Х, то уравнение f(x)= g(x) имеет не более одного корня на промежутке Х.

Логарифмические неравенства.

Определение 2. 

Простейшим логарифмическим неравенством является неравенство вида (а также , , ), где а0, a≠1.

Основные методы решения простейших логарифмических неравенств.

1 метод.

В силу монотонности функции : при а1функция возрастает и решением неравенства является открытый луч ( ; +∞), а неравенства - интервал (0; ); при 0 является интервал (0; ), а неравенства - открытый луч ( ; +∞).

2 метод. Метод использования свойства монотонности функции.

Теорема 2. Если а1, то неравенство равносильно двойному неравенству:

f(x) g(x) 0.

Если 0 равносильно двойному неравенству 0

3 метод. Метод введения новой переменной.

Неравенства вида  . Сделаем подстановку . Тогда неравенство примет вид: f(t)0.

Решая это неравенство, получаем конечное или бесконечное множество интервалов вида .

Для каждого из них имеем: . Если а1,то отсюда следует, что , если 0 . Решение является объединением найденных интервалов.

4 метод.  Функционально-графический метод. Он основан на использования графических иллюстраций или каких-либо свойств функций.

Функциональный метод (мини-максный) заключается в следующем:

Использование свойств логарифма, формул перехода к новому основанию логарифма так же применяются для преобразования выражений, входящих в неравенства.

Специальные методы решения логарифмических неравенств в случае, если:

1. Неравенство не получается решить выше указанными методами

2. Неравенство содержит переменную в основании логарифма

3. Неравенства содержат логарифмы с разными основаниями

4. Неравенство содержит модуль

5. Неравенство смешанное

Метод рационализации при решении логарифмических неравенств

Метод позволяет в ряде случаев упростить неравенство, содержащее сложное трансцендентное (неалгебраическое) выражение, сведя его к рациональному неравенству и решить его методом интервалов.

Ключевые задачи.

1. Метод введения новой переменной

Решите неравенство:

Ответ: (3,5; 5)

1. Метод интервалов (комбинированное неравенство)

Решите неравенство:

Ответ:

1. Метод рационализации и переход к новому основанию

Решите неравенство:

Ответ:

1. Метод рационализации, переход к новому основанию и введение новой переменной

Решите неравенство:

Ответ: .

1. Метод использования свойства монотонности функции (неравенство из демоверсии 2019)

Решите неравенство:

Ответ:

1. Решите неравенство:

Ответ:

Неравенства для самостоятельного решения:

1. Метод использования свойства монотонности функции.

а) Ответ:

2. Метод введения новой переменной. Переход к новому основанию

а) Ответ:

1. Метод интервалов.

а) Ответ:

б) Ответ:

4. Метод рационализации. Переход к новому основанию

а) Ответ:

б) Ответ:

в) Ответ:

г) Ответ:

5. Метод рационализации, переход к новому основанию и введение новой переменной.

а) Ответ:

б)