"Контрольная работа по релятивистской механике" (10 класс)

Контрольная работа по релятивистской механике. 10 КЛАСС. 1 ВАРИАНТ

Часть A (Тестовые задания)

Инструкция: Для каждого из 5 вопросов выберите один правильный вариант ответа.

1. Формула лоренцовского сокращения длины: L = L0√(1 – v²/c²). Что означает L0?
   A) Длина в покое
   B) Удлинённая длина
   C) Длина, измеренная в движущейся системе

2. Какой из постулатов НЕ входит в основание специальной теории относительности?
   A) Принцип относительности
   B) Существование абсолютного времени
   C) Инвариантность скорости света

3. Частица имеет энергию E mс², но конечную. Какова может быть её скорость?
   A) v=0
   B) 0 C) v ≥ c

4. Релятивистский импульс: p = (mV)/√(1 – v²/C²). Как он ведёт себя при приближении V к C?
   A) Стремится к конечному значению
   B) Стремится к бесконечности
   C) Стремится к нулю

5. Эффект замедления времени: t = t0 / √(1 – v²/c²). Что такое t0?
   A) Собственное время (время в системе покоя часов)
   B) Время, измеренное в движущейся системе
   C) Абсолютное время

Часть B (Простые задачи)

B1:
Частица с массой покоя m_0 покоится в лабораторной системе отсчёта. Определите её энергию покоя E₀. Формула: E₀ = m_0c².

B2:
Частица с массой покоя m_0 движется со скоростью v = 0,8c. Найдите релятивистский коэффициент Лоренца:
γ = 1 / √(1 – (0,8²)).

B3:
Тело длиной в покое L₀ = 2 м движется со скоростью v=0,6c вдоль своей длины. Найдите наблюдаемую длину L в лабораторной системе:
L = L₀√(1 – 0,6²).

Часть C (Сложные задачи)

C1:
Две частицы с массой покоя m₀ движутся навстречу друг другу со скоростями v₁=0,9c и v₂=0,9c относительно лабораторной системы. Необходимо:

1. Найти суммарную энергию и суммарный импульс в лабораторной системе.

2. Определить энергию системы в системе центра масс (СЦМ).

3. Найти скорость СЦМ относительно лабораторной.
   Используйте релятивистские формулы сложения скоростей, преобразования энергии и импульса.

C2:
Фотон с энергией Eγ взаимодействует с частицей с массой покоя m₀. В результате взаимодействия должна родиться частица массы M m₀. Найти минимально необходимую энергию фотона Eγ,min для осуществления данного процесса.
Подсказка: проанализируйте законы сохранения энергии и импульса в системе центра масс и условие порога реакции.

Часть X (Экстремально сложная задача)

Анализ движения наблюдателя, перемещающегося со скоростью, близкой к скорости света, в окрестности чёрной дыры Керра. Требуется:

1. Определить эффективную метрику пространства-времени для данного наблюдателя, учитывая вращение чёрной дыры и эффект «рамочного протаскивания» (frame dragging).

2. Найти фазовую скорость распространения малых гравитационных возмущений в этой метрике.

3. Определить, возможно ли синхронизировать часы рассматриваемого наблюдателя с часами удалённого наблюдателя, движущегося по слегка ускоренной геодезической. Если да — указать величину необходимой релятивистской поправки.

Контрольная работа по релятивистской механике
Вариант 2

Часть A (Тестовые задания)

Инструкция: Выберите один правильный вариант ответа для каждого из 5 вопросов.

1. В релятивистской кинематике энергия покоя частицы равна:
   A) E₀ = m₀c²
   B) E₀ = m₀v²
   C) E₀ = m₀gH

2. При переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой с относительной скоростью v по СТО:
   A) Скорость света меняется пропорционально v
   B) Скорость света остаётся неизменной
   C) Скорость света становится меньше c при движении навстречу

3. Релятивистский фактор Лоренца: γ = 1/√(1 – v²/c²). Как γ зависит от скорости?
   A) Увеличивается при росте v, стремится к бесконечности при v → c
   B) Уменьшается при росте v, стремится к нулю при v → c
   C) Не зависит от v

4. Если в одной ИСО промежуток времени между двумя событиями равен t_0 (собственное время), то в другой ИСО, в которой события происходят в разных точках пространства, промежуток времени:
   A) Меньше t₀
   B) Больше t₀
   C) Равен t₀

5. Формула релятивистской полной энергии: E = γm₀c². При v = 0 эта энергия:
   A) Превращается в нуль
   B) Равна m₀c²
   C) Равна бесконечности

Часть B (Простые задачи)

B1:
Частица покоится в лабораторной системе отсчёта и имеет массу покоя m₀ = 1 кг. Определите её энергию покоя. Подставьте c = 3×10⁸ м/с.
Формула: E₀ = m₀c².

B2:
Частица с массой покоя m₀ движется со скоростью v = 0,5c. Найдите γ и определите отношение релятивистской энергии к энергии покоя E/E_0 = γ.

B3:
Стержень в покое имеет длину L₀ = 4 м. Он движется со скоростью v=0,8c вдоль своей длины. Определить наблюдаемую длину L с помощью формулы лоренцовского сокращения: L = L₀√(1 – v²/c²).

Часть C (Сложные задачи)

C1:
Две одинаковые частицы массой покоя m₀ движутся в противоположных направлениях со скоростями v₁ = 0,8c и v₂ = 0,6c относительно лабораторной системы. Найти:

1. Суммарную энергию и импульс в ЛС.

2. Скорость системы центра масс (СЦМ).

3. Энергию в СЦМ.
   Используйте формулы релятивистского сложения скоростей и преобразования энергии и импульса.

C2:
Фотон с энергией Eγ падает на покоящуюся частицу массы m_0, в результате должна произойти реакция рождения новой частицы массой M m_0 (предположим, рождается частица массы M и частица массы m₀ для соблюдения законов сохранения). Найдите минимально необходимую энергию фотона Eγ,min для осуществления этого процесса.

Часть X (Экстремально сложная задача)

Исследуйте возможность определения локально инерциальной системы отсчёта для наблюдателя, двигающегося с околосветовой скоростью по орбите вокруг вращающейся чёрной дыры Керра. Требуется:

1. Проанализировать метрику Керра, учесть эффект рамочного протаскивания.

2. Определить влияние релятивистских эффектов на измерения временных интервалов, фазовых скоростей гравитационных возмущений и геометрии пространства.

3. Оценить возможность синхронизации часов такого наблюдателя с часами удалённого наблюдателя, определить коррекцию, необходимую для учёта релятивистских эффектов и кривизны пространства-времени.

ОТВЕТЫ: (x_0 = x₀)

ВАРИАНТ 1

Часть A (тестовые задания)

1. A) Длина в покое

2. B) Существование абсолютного времени не входит в постулаты СТО

3. B) Скорость частицы между 0 и c

4. B) Импульс стремится к бесконечности

5. A) t_0 — собственное время

Часть B (простые задачи)
B1: E_0 = m_0c² (конечный ответ в символической форме, при численных данных можно подставить значения)
B2: γ = 1 / √(1 - 0,8²) = 1 / √(0,36) = 1 / 0,6 ≈ 1,6667. Следовательно, E/E_0 = γ ≈ 1,6667
B3: L = 2 м * √(1 - 0,6²) = 2 * √(0,64) = 2 * 0,8 = 1,6 м

Часть C (сложные задачи)
C1 (Общие принципы ответа):

• Суммарная энергия в ЛС для двух частиц, движущихся навстречу друг другу со скоростью 0,9c, будет E_total ≈ 2 * γm_0c² с γ(0,9c) ≈ 2,294. Итого E_total ≈ 4,588 m_0 c².

• Суммарный импульс в ЛС для симметричного случая (одинаковые скорости навстречу друг другу) равен нулю.

• Система центра масс совпадает с лабораторной, т.к. импульс суммарно ноль. Следовательно, энергия в СЦМ равна той же 4,588 m_0 c². Скорость СЦМ относительно лабораторной – 0.

C2 (пороговая энергия фотона):
Минимальная энергия фотона для рождения частицы массы M при взаимодействии с покоящейся частицей массой m_0: E_γ,min = [(M² - m_0²)c²] / (2m_0).

Часть X (экстремально сложная задача)
Ответ: Численных ответов нет; задача концептуальная. Требуется анализ метрики Керра, фазовых скоростей гравитационных возмущений и условий синхронизации часов. Чёткого простого решения не существует в рамках СТО/ОТО начального уровня.

ВАРИАНТ 2

Часть A (тестовые задания)

1. A) E_0 = m_0c²

2. B) Скорость света остаётся неизменной

3. A) γ растёт при увеличении v, стремится к ∞ при v → c

4. B) Промежуток времени больше t_0 (в движущейся системе время «растягивается»)

5. B) При v=0 энергия E = m_0c²

Часть B (простые задачи)
B1: E_0 = m_0c² = 1 кг * (3×10⁸ м/с)² = 9×10¹⁶ Дж
B2: γ = 1/√(1 - 0,5²) = 1/√(0,75) ≈ 1/0,866 ≈ 1,1547. Следовательно, E/E_0 = γ ≈ 1,1547.
B3: L = 4 м * √(1 - 0,8²) = 4 * √(1 - 0,64) = 4 * √0,36 = 4 * 0,6 = 2,4 м.

Часть C (сложные задачи)
C1:

• Для v_1=0,8c γ_1 = 1/√(1-0,64)=1/0,6=1,6667; E_1=1,6667m_0c², p_1=1,6667m_0 *0,8c=1,3333 m_0c

• Для v_2=0,6c γ_2=1/√(1-0,36)=1/0,8=1,25; E_2=1,25m_0c², p_2=1,25m_0 *0,6c=0,75 m_0c
  Суммарная E: E_total=E_1+E_2=1,6667+1,25=2,9167 m_0c²
  Суммарный p: p_total=1,3333m_0c -0,75m_0c=0,5833m_0c (направление куда движется первая частица)
  Скорость СЦМ: v_cm ≈ (0,5833/2,9167)*c ≈0,2c
  Энергия в СЦМ: E_CM = √(E_total²-(p_total c)²) = приблизительно 2,86 m_0 c².

C2: Аналогично первому варианту:
E_γ,min = ((M² - m_0²)c²)/(2m_0).

Часть X (экстремально сложная задача)
Ответ: Численных решений нет; требуется анализ метрики Керра, гравитационных возмущений и синхронизации часов. Детальное решение выходит за рамки стандартного курса