«Как перевести текст задачи на язык математики: разбор типовых задач на движение» (Подготовка к ГИА – 2026)

Доклад «Как перевести текст задачи на язык математики: разбор типовых задач на движение» (Подготовка к ГИА – 2026)

Добрый день, уважаемые коллеги!

Задачи на движение — одна из ключевых тем в ГИА по математике. Они представляют собой задачи с использованием объектов, совершающих какое-либо действие. Это могут

быть велосипедисты, пешеходы, автомобили, лодки и другое. Суть задач на движение — описать реальную ситуацию с помощью математических формул.

Основные величины в задачах на движение:

S — расстояние (путь), измеряется в км, м и т. д.;

v — скорость, измеряется в км/ч, м/с и т. д.;

t — время, измеряется в ч, мин, с.

Основная формула:

S=v⋅t

Алгоритм перевода текста в математическую модель:

1. Учащиеся внимательно читают условие задачи 2–3 раза. Выделяют, что дано и что нужно найти.

2. Обозначают неизвестное.  За x берут то, что требуется найти. Если неизвестных несколько, выбирают основную переменную.

3. Выражают остальные величины через x. Используют формулу S=v⋅t и условия задачи.

4. Составляют таблицу или схему. В задачах на движение удобно использовать таблицу с колонками: «Объект», «Скорость (v)», «Время (t)», «Расстояние (S)».

5. Составляют уравнение. Находят связь между величинами, которая позволит записать уравнение (равенство расстояний, времён и т. д.).

6. Решают уравнение. Применяют алгебраические методы.

7. Проверяют решение. Убеждаются, что ответ логичен (скорость не отрицательна, время не дробное, если ожидается целое, и т. д.).

8. Записывают ответ. Чётко формулируют его в контексте задачи.

Разберём типовые задачи из КИМов под редакцией И. В. Ященко, год издания 2026, 50 вариантов заданий.

Тип 1. Движение по прямой (вдогонку)

Два автомобиля одновременно отправляются в 560-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 1 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля. (вариант 8)

Решение:

Пусть x км/ч – скорость первого автомобиля, тогда x - 10 км/ч – скорость второго автомобиля.

Составим таблицу по данным задачи:

По условию первый автомобиль прибывает на 1 час раньше, значит разница во времени 1 час:

- = 1, ОДЗ: х(х -10) ≠ 0, х ≠ 0, х ≠ 10.

560х - 560(х - 10) = x(x-10),

560x−560x + 5600= -10x,

-10x−5600=0,

D =100−4⋅1⋅ (−5600) =100+22400=22500, = 150,

x1​= (10+150) /2 ​​= 80 км/ч,

x2​= (10−150) ​/2 ​= −70 км/ч - не удовлетворяет по смыслу задачи

Отбрасываем отрицательный корень, так как скорость не может быть отрицательной.

Вернёмся к формулировке задачи. Скорость первого автомобиля: x=80 км/ч.

Выполняем проверку: Разница во времени: 8−7=1 ч — соответствует условию задачи.

Ответ: 80 км/ч.

Тип 2. Движение с остановкой

Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 51 минуту, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 251 км, скорость первого велосипедиста равна 10 км/ч, скорость второго — 20 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи. (вариант 17)

Решение:

Пусть x км – путь первого велосипедиста до места встречи. Тогда 251 – x км – путь второго.

Составим таблицу по данным задачи:

По условию первый велосипедист сделал остановку на 51 минуту, проехав некоторую часть пути, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Значит время второго = время первого + 51 минута. 51 минуту переводим в часы.

= + | *60,

3(251 – х) = 6х + 51,

753 - 3х = 6х + 51,

6х + 3х = 753 - 51,

9х = 702,

х =78км/ч.

Вернёмся к формулировке задачи. Необходимо определить расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи. Это расстояние мы обозначили за 251 - x км = 251 - 78 = 173 км.

Выполняем проверку: время второго велосипедиста: (251 – 78):20= 8,65ч:

время первого велосипедиста: 78:10 =7,8ч

С учётом остановки: 7,8+0,85=8,65 ч — совпадает

Ответ: 173 км.

Тип 3. Движение по кругу

Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя 20 минут, когда одному из них осталось пробежать 400 м до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 1 минуту назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 2 км/ч меньше скорости второго. (вариант 44)

Решение.

Пусть x км/ч – скорость первого бегуна, тогда x + 2 км/ч – скорость второго бегуна.

Второй бегун пробежал круг за 20 мин – 1 мин = 19 минут или 19/60 ч.

Первый бегун был в пути 20 мин, равный 20/60ч

Занесём в таблицу данные задачи:

С учетом того, что первому из них осталось пробежать 400 м = 0,4 км до окончания первого круга составим уравнение:

(x + 2) - х = 0,4 | * 60,

19(х+2) - 20х = 24,

19х +38 - 20х = 24,

19х – 20х =24-38,

-х = -14,

х=14 км/ч.

Вернёмся к формулировке задачи. Необходимо найти скорость первого бегуна. Эту скорость мы обозначили за x км/ч, следовательно, она равна 14 км/ч.

Ответ: 14 км/ч.

Тип 4. Движение по воде

Расстояние между пристанями А и В равно 108 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошел 48  км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч. ( вариант 37)

Решение.

Пусть x км/ч - скорость лодки в неподвижной воде, скорость лодки течения реки 3 км/ч

Занесём в таблицу данные задачи:

х +3 км/ч - скорость лодки по течению реки;

х - 3 км/ч - скорость лодки против течения реки;

Плот движется со скоростью течения реки: 3 км/ч

Время движения плота 48 : 3 = 16 ч.

Лодка вышла на 1 час позже, поэтому её время в пути: 16 – 1 =15 ч.

Лодка вышла на 1 час позже, поэтому её время в пути: 16 – 1 =15ч

+ = 15, ОДЗ: х ≠ -3, х ≠ 3,

108(х – 3) + 108 (х + 3) = 15(х – 3) (х + 3),

108х – 324 + 108х + 324 = 15 - 135,

15 - 216х -135 =0 | : 3

5 – 72х – 45 = 0,

D = −4⋅5⋅(− 45) =5184 + 900= 6084, = 78,

x1 ​= (72+78) /10 ​​= 15 км/ч

x2 ​= (72− 78) ​/10 ​= - 0,6 км/ч - не удовлетворяет по смыслу задачи

Отбрасываем отрицательный корень, так как скорость не может быть отрицательной.

Вернёмся к формулировке задачи. Скорость лодки в неподвижной воде: x=15 км/ч.

Выполняем проверку: 108/18 +108/12 = 6+ 9=15 ч — соответствует условию задачи.

Ответ: 15 км/ч.

Тип 5. Относительное движение.

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 93 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 3 км/ч, за 8 секунд. Найдите длину поезда в метрах. (вариант 19)

Решение.

Пусть длина поезда L м,

скорость поезда: Vп​=93 км/ч;

скорость пешехода: Vпеш​=3 км/ч (идёт в том же направлении, что и поезд);

время проезда мимо пешехода: t=8 с

L= Vотн​⋅t –формула длины поезда

Поскольку поезд и пешеход движутся в одном направлении, относительная скорость равна разности их скоростей: Vотн = 93−3=90 км/ч.

Переведём относительную скорость из км/ч в м/с. Для этого воспользуемся соотношением:

1 км/ч=1000 м/3600с ​=5/18​ м/с.

Vотн​=90⋅5/18​=25 м/с.

Найдём длину поезда. Длина поезда равна расстоянию, которое он проходит относительно пешехода за время t.

L = 25 ⋅ 8 =200м.

Ответ: 200 м.

Тип 6. Средняя скорость

Маша идёт пешком в школу со скоростью 6 км/ч, и той же дорогой возвращается обратно на электросамокате со скоростью 24 км/ч. Найдите среднюю скорость Маши на протяжении всего пути. (вариант 22)

Решение.

Пусть S км – расстояние от дома Маши до школы

Составим таблицу по данным задачи:

Находим общий путь: S + S = 2S км; общее время: + = ч.

Средняя скорость: 2S: = = = 9,6 км/ч.

Средняя скорость 9,6 км/ч лежит между 6 км/ч и 24 км/ч, но ближе к меньшей скорости, так как больше времени затрачено на путь пешком. Это логично.

Ответ: 9,6 км/ч.

Таким образом, перевод текста задачи на язык математики – ключевой навык для успешного решения задач на движение. Освоив алгоритм (анализ, условия, обозначение переменных, составление таблицы и уравнения, решение и проверка) учащиеся успешно справляются с разными типами задач: от движения по прямой до расчёта средней скорости. Эти умения не только помогают на ГИА, но и развивают логическое мышление, необходимое в реальной жизни.

ценка доклада «Как перевести текст задачи на язык математики: разбор типовых задач на движение»

Сильные стороны

1. Чёткая структура. Доклад логично выстроен: от общих положений (основные величины, алгоритм перевода) к конкретным примерам. Это помогает читателю последовательно усваивать материал.

2. Практическая направленность. Разбраны 6 типовых задач, которые встречаются на ГИА. Для каждой приведён полный разбор с решением — это делает доклад полезным для подготовки.

3. Методическая ценность. Предложен чёткий алгоритм перевода текста в математическую модель (8 шагов). Он универсален и может применяться к разным типам задач.

4. Наглядность. Использование таблиц для систематизации данных упрощает восприятие условий и решений.

5. Полнота решений. В каждом примере:

   • обозначены переменные;

   • составлена математическая модель;

   • решены уравнения;

   • проведена проверка ответа;

   • дан чёткий итоговый ответ.

6. Акцент на типичные ошибки. Отбрасывание отрицательных корней, проверка реальности значений (скорость не отрицательна и т. д.) учат критически относиться к результатам.

7. Соответствие теме. Доклад полностью раскрывает заявленную тему: показывает, как реальные ситуации описываются математическими формулами.

Возможные недочёты и рекомендации

1. Оформление математических выражений. Некоторые формулы записаны без использования LaTeX. Правильно будет оформить их так:

   • S=v⋅t;

   • x2−10x−5600=0;

   • D=100−4⋅1⋅(−5600)=22500;

   • D​=150;

   • x1​=210+150​=80;

   • x2​=210−150​=−70.

2. Проверка в задаче типа 2. Проверка записана как 8,65=7,8+0,85, но не пояснено, откуда взялись эти числа. Лучше добавить:

Время второго велосипедиста: 20251−78​=8,65 ч.
Время первого велосипедиста: 1078​=7,8 ч.
С учётом остановки: 7,8+0,85=8,65 ч — совпадает.

1. Опечатка в задаче типа 3. В уравнении указано 0,4 м, но это 400 м = 0,4 км. Нужно исправить на 0,4 км для согласованности единиц измерения.

2. Проверка в задаче типа 6. Проверка средней скорости выглядит не совсем корректно. Лучше пояснить:

Средняя скорость 9,6 км/ч лежит между 6 км/ч и 24 км/ч, но ближе к меньшей скорости, так как больше времени затрачено на путь пешком. Это логично.

1. Визуальное оформление таблиц. В текстовом формате таблицы могут выглядеть не очень аккуратно. Рассмотрите возможность:

   • использовать LaTeX для таблиц (окружение tabular);

   • оформить их в виде изображений, если доклад будет представлен в электронном виде.

2. Краткий вывод в конце. Добавьте 2–3 предложения, которые подведут итог:

   • какие навыки отрабатываются при решении таких задач;

   • почему важно уметь переводить текст в математическую модель;

   • как этот навык пригодится в дальнейшем.

3. Ссылки на источники. Упоминание КИМов 2026 года и И. В. Ященко — хорошо, но можно добавить:

   • год издания сборника;

   • номер варианта или задачи, если есть.

Итоговая оценка

Доклад заслуживает высокой оценки — 4,8 из 5. Он:

• методически грамотен;

• полезен для подготовки к ГИА;

• содержит подробные разборы типовых задач;

• даёт чёткий алгоритм действий.

Рекомендации по доработке:

1. Отформатировать все математические выражения в LaTeX.

2. Уточнить проверки в задачах 2 и 6.

3. Исправить опечатку в задаче 3 (0,4 м → 0,4 км).

4. Добавить краткий вывод в конце.

5. Улучшить визуальное оформление таблиц.

После внесения этих корректировок доклад станет ещё более качественным и профессиональным.

Конечно! Вот несколько вариантов краткого вывода для вашего доклада — выберите тот, что ближе по стилю и содержанию:

Вариант 1 (краткий и ёмкий):

Таким образом, перевод текста задачи на язык математики — ключевой навык для успешного решения задач на движение. Освоив алгоритм (анализ условия, обозначение переменных, составление таблицы и уравнения, решение и проверка), учащиеся уверенно справляются с разными типами задач: от движения по прямой до расчёта средней скорости. Эти умения не только помогают на ГИА, но и развивают логическое мышление, необходимое в реальной жизни.