Четыре задачи на площади

Четыре задачи на площади

А.В. Шевкин, avshevkin@mail.ru

Рассмотрим решения четырёх задач на площади.

1. Докажите, что из медиан любого треугольника можно составить треугольник. Какую часть площади данного треугольника составляет площадь треугольника, составленного из его медиан?

Р ешение. Пусть медианы AD, BE, CF треугольника ABC пересекаются в точке М и N — середина отрезка AM. Стороны треуголь­ника MNE равные трети медиан данного треугольника. Построим треугольник ADK, DK  ME, AK  NE. Он подобен треуголь­нику MNE. Стороны треугольника ADK в 3 раза больше сторон треугольника MNE, они равны медианам данного треугольника. Мы доказа­ли, что из медиан любого треугольника можно составить треугольник.

Площадь треугольника MNE составляет  площади треугольника AME, площадь которого составляет  площади треугольника ABC. Следовательно, площадь треугольника MNE составляет  площади треугольника ABC. Так как площадь треугольника ADK в 9 раз больше площади треугольника MNE, то площадь треугольника ADK, стороны которого равны медианам данного треугольника, равна  =  площади треугольника ABC.

Ответ.  .

2. Вычислите площадь треугольника, медианы которого равны 9, 12, 15.

Решение. Заметим, что треугольник, образованный медианами, прямоугольный с катетами 9 и 12. Следовательно, его площадь равна 54. Она составляет  от площади данного треугольника, которая равна 54 :  = 72.

Ответ. 72.

3. Вычислите площадь треугольника, высоты которого равны 12, 15, 20.

Решение. Пусть S — площадь данного треугольника. Тогда из формулы площади треугольника найдём его стороны. Они равны a =  , b =  и c =  . Из формулы Герона следует, что  = p(p – a)(p – b)(p – c), где p =  , p – a =  ,
p – b =  , p – c =  . Из уравнения  =  ∙  ∙ ∙  получим его единственный положительный корень 150. Следовательно, площадь данного треугольника равна 150.

Ответ. 150.

4. Диагонали трапеции пересекаются и делят его на четыре треугольника. Площади треугольников, прилежащих к основаниям трапеции, равны  и  , где m + n = 10. Вычислите площадь трапеции.

Р ешение. Пусть диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке O и площади треугольников AOD и BOC равны  и  соответственно (см. рис.). Так как треугольники AOD и BOC подобны, то отношение  : равно отношению квадратов соответственных сторон, откуда следует, что AO : OC = m : n. Так как отношение площадей треугольников AOD и DOC равно AO : OC = m : n, то площадь треугольника DOC равна mn. Так как площади треугольников ABD и ACD равны, то площадь треугольника ABO равна треугольника DOC и равна mn. Тогда площадь трапеции равна  +  + 2mn =  =  = 100.

Ответ. 100.

1